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May 21, 2022

开集或开集是拓扑学中的基本概念。它也用于数学的其他领域,可以是拓扑的其他空间。这个概念是对几何和微积分中一组点的内部域概念的概括。如果 A ⊆ {\displaystyle \subseteq } X 和 X {\displaystyle X} 在 A {\displaystyle A} 中也是开的,那么 A 在 X 中是开的,显然 A 本身是开的,因为 A A.

定义

在拓扑空间

在拓扑空间中,开集的概念是一个基本概念。拓扑空间是具有族 T {\displaystyle T} , X ⊇ {\displaystyle \supsteq } A 的集合 X {\displaystyle X} 满足一些“开放性”公理。该族 T {\displaystyle T} 称为拓扑,T {\displaystyle T} 中的每个元素称为开集。注意: ⋂ i 1 m T i {\displaystyle \bigcap _{i1}^{m}T_{i}} 是 m <∞ 的开集。

在度量空间中

在度量空间 (M,d) 中(其中 d {\displaystyle d} 是一个距离函数),如果对于每个 x ∈ {\displaystyle \in } U,存在一个实数 ϵ,则子集 U 是一个开集> 0 {\displaystyle \epsilon >0} 使得对于任何 y ∈ {\displaystyle \in } M 使得 d(x,y) < ϵ {\displaystyle \epsilon } ,y 也在 U 中。(或者,等价地,如果对于每个点 u ∈ {\displaystyle \in } U 都有一个 u 的邻域 V 完全位于 U 中,则 U 是开放的。在度量空间 (M, d) 中,定义点 x ∈ {\displaystyle \in } U 如果存在一个完全位于 U 中的 x 邻域,则称该点是 U 的内点。因此,一个集合 U 在 M 中是开放的,如果并且仅当 U 的每个点都是内点时。

在欧几里得空间

欧几里得空间 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 也是一个度量空间,所以其中的开集概念也是度量空间中的开概念。

特性

空集是开集。任意数量的开集的并集是开集。有限开集的交集是开集。

应用

开集在拓扑学中扮演着重要的角色。拓扑空间 X 的每个子集 A 至少包含一个开集(可能是空集;其中最大的开集称为 A 的内域。这个子集可以由所有元素的并集构成。A 中包含的开集. 给定拓扑空间 X 和 Y,如果 Y 中每个开集的图像在 X 上都是开的,则称从 X 到 Y 的映射 f 是连续的。如果每个开集的图像都是开集在 X 中是在 Y 中开的。实线上的每个开集都是可数区间的并集。

笔记

集合 U 在某个空间中的开度在更大的空间中可能无法保持。例如,如果 U 是区间 (0,1) 中的有理数集合,则 U 在有理数集合中是开的,但在实数集合中不是。那是因为,当考虑有理数集合中的 U 时,点 x ∈ {\displaystyle \in } U 的所有邻域都只包含有理数。但是,当我们将 U 视为实数集的子集时,x 的任何邻居都包含无理点和有理点,因此不能完全位于 U 中。有些集既是开集又是闭集:在 R 和连通空间中,只有集是空的,整个空间既封闭又开放。小于√2的有理数集在有理数集中既是闭集又是开集。同时,其他一些集合既不封闭也不开放,例如 R 中的 (0,1]。

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邻域拓扑空间的闭集

参考

外部链接

Open Set trên PlanetMath。