自然数

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May 24, 2022

在数学中,自然数用于计数(如“桌子上有六个硬币”)和排序(如“这是该国第三大城市”)。有时,自然数可以作为一组方便的代码(标签或“名称”)出现,也就是说,正如语言学家所说的名义数,消除了一个数在数学意义上的许多或全部属性。自然数集通常用符号 N {\displaystyle \mathbb {N} } 表示。在 ISO 80000-2 的标准和越南标准教科书中,自然数被定义为数字。非负整数 0, 1, 2、3、...(有时一般用符号 N 0 {\displaystyle \mathbb {N} _{0}} 表示,以强调也包括零),而其他的分别以 1 开头。对于正整数 1、2、3, ...(有时用符号 N 1 {\displaystyle \mathbb {N} _{1}} , N + {\displaystyle \mathbb {N} ^{+}} 表示,或 N ∗ {\displaystyle \mathbb {N} ^{*}} 并强调排除零。自然数是许多其他数字集的基础,可以通过打开来构造许多其他数字集。宽:整数集,通过包括(如果还没有)中性元素 0 和每个不同的自然数 n 的逆加法 (− n ) 来构造;一组有理数,包括对除 n 之外的每个整数(以及这些倒数与整数的乘积)的乘法倒数 (1/n );通过将有理数的(收敛)柯西数列的极限包括在有理数中而得到实数集;复数,通过添加负一的未解平方根实数(及其总和和乘积),....这些扩展序列使自然数在其他数系统中被规范地嵌入(识别) 数论中研究了自然数的性质,例如可分性和素数分布。与计数和排序相关的问题,例如分区和枚举,在组合学中进行了研究。在日常语言中,特别是在基础教育中,自然数可以称为计数,以便在视觉上排除负整数和零,也可以将计数的离散性与测量的连续性进行对比——实数的一个突出特点。与计数和排序相关的问题,例如分区和枚举,在组合学中进行了研究。在日常语言中,特别是在基础教育中,自然数可以称为计数,以便在视觉上排除负整数和零,也可以将计数的离散性与测量的连续性进行对比——实数的一个突出特点。与计数和排序相关的问题,例如分区和枚举,在组合学中进行了研究。在日常语言中,特别是在基础教育中,自然数可以称为计数,以便在视觉上排除负整数和零,也可以将计数的离散性与测量的连续性进行对比——实数的一个突出特点。

历史

远古时代

表示自然数的最原始方法是为每个对象分配一个符号。然后可以检查一组对象是否相等、多余或不足——通过从集合中标记和删除一个对象。抽象向前迈出的第一步是使用数字来表示数字。这允许开发用于批量记录的系统。古埃及人开发了一种强大的数字系统,其中包含 1、10 和 10 到超过 100 万的所有幂的独立象形文字。卡纳克 (Karnak) 的一块岩石雕刻,可追溯到公元前 1500 年左右,现在是巴黎的卢浮宫博物馆,将 276 描绘为 200、7 个十和 6 个单位;数字 4,622 也是如此。巴比伦人的位值系统基本上基于 1 和 10 的数字,使用基数 60,60 的符号与 1 的符号相同——它的具体值由上下文决定。数字抽象的另一个进步,但要晚得多:将数字表示为具有自己的数字表示的数字的想法的发展.大约在公元前 700 年,巴比伦人在位值符号系统中使用了零,但很奇怪的是,直到巴比伦文化没落之前,巴比伦人只知道如何使用数字。而不是在数字之间(例如,在写 3605 时他们知道将中间为零),并且该数字从未用作数字的最后一位数字(例如,巴比伦人表示数字 3600 和 60 相同——巴比伦人使用以 60 为基数的系统——为了区分 3600 和 60,他们必须包括下面的口头评论)。奥尔梅克文明和玛雅文明从公元前 1 世纪左右开始使用零作为一个单独的数字(显然是独立发展的),但是这种用法在该地区以外并不普遍。中美洲。我们今天仍在使用的零的概念来自印度数学家 Brahmagupta 在 628 年。虽然所有中世纪的数学家都使用零作为数字(用于计算日期。复活),它始于 525 年的 Dionysius Exiguus,但总的来说有仍然不是一个专门用于写零的罗马数字。相反,当时人们使用拉丁词 nullae,意思是“没有”表示零。希腊哲学家毕达哥拉斯和阿基米德通常被认为是第一个质疑将数字作为抽象实体进行系统研究的人。但同期,印度、中国、中美洲等地也有类似的独立研究。

现代定义

在 19 世纪的欧洲,关于自然数的确切性质进行了数学和哲学讨论。自然主义学派声称自然数是人类心理的直接结果。亨利·庞加莱是其支持者之一,利奥波德·克罗内克 (Leopold Kronecker) 也是如此,他将自己的信念总结为“上帝创造了整数,其他一切都是人的工作”。与自然主义者相反,建构主义者认为需要提高数学基础中的逻辑严谨性。在 1860 年代,Hermann Grassmann 提出了自然数的递归定义,因此说它们并不是真正的自然数——而是定义的结果。随后,构造了两类这样的正式定义;后,在大多数实际应用中,它们仍然被证明是等效的。自然数的集合论定义是由弗雷格提出的。最初,他将自然数定义为与特定集合 1-1 对应的所有集合的类。然而,这个定义导致了悖论,包括罗素悖论。为了避免这样的悖论,形式化已经被修改,这样一个自然数被定义为一个特定的集合,任何集合都可以被包含以与该集合 1-1 对应。假设具有该元素编号。第二种类型的定义是由查尔斯·桑德斯·皮尔斯 (Charles Sanders Peirce) 提出,由理查德·戴德金 (Richard Dedekind) 提炼,并由朱塞佩·皮亚诺 (Giuseppe Peano) 进一步探索;这种方法现在称为皮亚诺算术。它基于序数性质的公理:每个自然数都有一个后继,每个非零自然数都有一个唯一的前驱。皮亚诺算术等价于集合论的一些弱系统。一个这样的系统是 ZFC,它的无穷公理被它的否定所取代。可以在 ZFC 中证明但不能使用 Peano 公理证明的定理,包括 Goodstein 定理。有了这个集合的所有定义,将零(对应于空集)包含到自然数集合中是很方便的。包括零现在是集合论者和逻辑学家之间的共同约定。其他数学家包括0,而计算机语言在枚举循环计数器和字符串或数组元素等项时往往从0开始。另一方面,许多数学家一直保持着将 1 作为第一个自然数的古老传统。

象征

数学家使用符号 N 或 ℕ 来表示所有自然数的集合。一些较旧的文本有时也使用符号 J 来表示这个集合。根据定义,该集合是无限的和可数的,即自然数集合的力为 0 由于不同的属性通常与标记 0 和 1 相关联(例如中性元素分别允许加法和乘法),重要的是要知道在所考虑的情况下使用哪个版本的自然数。这可以通过散文解释、明确写出集合或通过上标或下标标识公共标识符来完成,例如:{ 1 , 2 , . . .} N ∗ N + N 0 ∖ { 0 } 。 {\displaystyle \{1,2,...\}\mathbb {N} ^{*}\mathbb {N} ^{+}\mathbb {N} _{0}\smallsetminus \{0\}.} { 0 , 1 , 2 , . . .} N 0 N 0 N ∗ ∪ { 0 } {\displaystyle \;\{0,1,2,...\}\mathbb {N} _{0}\mathbb {N} ^{0}\mathbb { N} ^{*}\cup \{0\}} 有时作者使用下标或上标“+”来指代自然数的“正”概念,即 N+ 或 N+ { 十二,... }。但是,必须注意这个符号,因为在其他一些情况下,至少对于欧洲数学学校来说,这个符号是指“非负”的概念,例如:R+ [0,∞) 或 Z+ { 0、1、2、...}。尽管,* 符号是用于“非零”概念或更一般地用于可逆元素的标准。越南的标准教科书也使用 N* 符号。 { 1 , 2 , 3 , ... } { x ∈ Z : x > 0 } Z + {\displaystyle \{1,2,3,\dots \}\{x\in \mathbb {Z} :x>0\ }\mathbb {Z} ^{+}} { 0 , 1 , 2 , ... } { x ∈ Z :x ≥ 0 } Z 0 + {\displaystyle \{0,1,2,\dots \}\{x\in \mathbb {Z} :x\geq 0\}\mathbb {Z} _{0}^{ +}}

特性

求和

给定自然数集合 N {\displaystyle \mathbb {N} } 和继承函数 S : N → N {\displaystyle S\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N} } 映射每个自然数之后的数,可以通过为每个 a, b 放置 a + 0 a 和 a + S(b) S(a + b) 来递归地定义自然数的加法。则(ℕ,+)是单位为0的可交换幺半群。它是生成元为1的自由幺半群。这个可交换幺半群满足取消性质,因此可以嵌入群中。最小的一组自然数是整数。如果 1 定义为 S(0),则 b + 1 b + S(0) S(b + 0) S(b)。这是否意味着,b + 1 只是 b 的继承者。

表格定义

从历史上看,提出自然数的精确数学定义的过程是一个艰难的过程。皮亚诺公设为成功定义自然数提供了先决条件。一些构造表明,根据已知的集合论,皮亚诺假设的模型肯定存在。

皮亚诺公理

有一个自然数 0 对于每个自然数 a,都有一个连续的自然数,记为 S(a)。不存在后继为 0 的自然数。两个不同的自然数必须有两个不同的对应连续数:如果 a ≠ b 则 S(a) ≠ S(b)。如果某个性质满足 0,并且我们可以证明对于每个满足该性质的自然数,它的后继也满足该性质,那么该性质满足所有自然数。 (这个公设保证了数学归纳法是正确的。)需要注意的是,上面定义中的“0”不一定是我们常说的零。这里的“0”是什么都没有的对象,当与某个直接函数,将满足皮亚诺公理。有许多系统满足这些公理,哪里有自然数(从零开始或等于一)。

基于集合论

标准建造法术

在集合论中,有一个冯诺依曼构造的特例,它定义自然数集如下:我们定义 0 { },空集,并定义 S(a) a ∪ {a} 与每个 a。然后自然数集定义为所有包含 0 的集合的交集,这些集合是下一个函数的闭集。如果我们假设无穷公理,我们将证明这个定义满足皮亚诺公理。然后每个自然数等于比它小的自然数的集合,使得: 0 { }, 1 0 ∪ {0} {0} {{ }}, 2 1 ∪ {1} {0, 1} {{ }, {{ }}}, 3 2 ∪ {2} {0, 1, 2} {{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}, nn−1 ∪ {n− 1} {0, 1, ..., n−1} {{ }, {{ }}, ..., {{ }, {{ }}, ...}} 等等通常,其含义如上所示。根据这个定义,当且仅当 n 是 m 的子集时,集合 n 中恰好有 n 个元素(在正常意义上)且 n ≤ m(在正常意义上)。同样从这个定义来看,符号的不同解释,例如 ℝn(是一个 n 元组或从 n 到ℝ的映射))变得等价。

其他建筑许可证

虽然标准结构很常见,但它并不是唯一的结构。 Zermalo 的构造示例:可以定义 0 { } 和 S(a) a,产生 0 { } 1 {0} {{ }} 2 {1} {{{ }}},...或者我们可以定义 0 {{ }} 和 {{{1}}}} 产生 0 {{ }} 1 {{ }, 0} {{ }, {{ }}} 2 {{ }, 0, 0, 1},...它可能是有争议的,但一般来说,自然数的最古老的集合论定义通常归功于弗雷格和罗素。在他们的定义中,每个特定的自然数 n 被定义为具有 n 个元素的所有集合的集合。Frege 和 Russell 首先将 0 定义为 { { } } {\displaystyle \{\{\}\}}(显然这是所有元素为 0 的集合的集合)并定义 σ ( A ) {\displaystyle \sigma (A )}(其中 A 是任意集合)是 { x ∪ { y } ∣ x ∈ A ∧ y ∉ x } {\displaystyle \{x\cup \{y\}\mid x \in A\wedge y\not \在 x\}} 中。因此 0 将是具有 0 个元素的所有集合的集合, 1 σ ( 0 ) {\displaystyle 1\sigma (0)} 将是具有一个元素的所有集合的集合,2 σ ( 1 ) {\displaystyle 2\sigma (1)} 将是所有具有 2 个元素的集合的集合,依此类推。然后,所有自然数的集合被定义为所有包含 0 并通过操作 σ {\displaystyle \sigma } 闭合的集合的交集(即如果集合包含元素 n )它也必须包含 σ ( n ) {\ displaystyle \sigma (n)} )。这个定义在公理集合论的传统系统中是不可用的,因为这样生成的集合会太大(它在任何具有分离公理的集合论中都不起作用);但是这个定义适用于新基础(和新基础兼容系统)和一些类型理论系统。对于本文的其余部分,我们使用上述标准结构。

对自然数集的运算

对自然数集的操作可以通过递归定义如下:

求和

a + 0 aa + S(b) S(a + b) 这个加法使得 (ℕ, +) 成为一个中性元素为 0 的交换谓词,它也是一个具有生成系统的自由谓词。谓词满足归约性质,因此可以嵌入到一个组中。最小的自然数群是整数,如果我们把S(0)表示为1,那么b + 1 b + S(0) S(b + 0) S(b); 也就是说,b 的下一个数就是 b + 1。

乘法

与加法类似,我们定义乘法 × 如下 a × 0 0 a × S(b) (a × b) + a 如此定义的乘法使得 (N,×) 是一个中性元素为 1 的谓词;这个谓词的一代是素数集。加法和乘法满足分配性质:a × (b + c) (a × b) + (a × c)。加法和乘法满足的性质使自然数集成为交换半环的一个例子。半环是自然数的代数推广,其中乘法不需要交换。如果我们从“无零”和“以 1 开始”来理解自然数集,那么 + 和 × 的定义是相同,只是修改了 a + 1 S(a) 和 a × 1 a。在本课的其余部分,我们写 ab 来表示乘积 a × b,我们还将假设有关操作顺序的规则。

订单关系

我们可以在自然数集上定义一个完整的排序关系如下:给定两个自然数 a 和 b,我们有 a ≤ b 当且仅当存在一个自然数 c 使得 a + c b。这种排序连同上面定义的算术运算给出了我们: 如果 a、b 和 c 是自然数并且 a ≤ b,那么 a + c ≤ b + c 和 ac ≤ bc 数的集合自然数也有重要的它们是有序集的性质:每个非空的自然数集都必须有一个最小元素。

有余数和可除性的除法

给定两个自然数 a、b 和 b ≠ 0。考虑自然数 p 的集合 M,使得 pb ≤ a。这个集合是有界的,所以它有一个最大元素,我们称之为M q 的最大元素。然后 bq ≤ a 并且 b(q + 1) > a。姿势 - bq。那么我们有一个 bq + r,其中 0 ≤ r < b. 可以证明数 q 和 r 是唯一的。数q称为商(或简称商),数r称为a除以b的余数。如果 r 0 那么 bq。那么我们说a可以被b整除或者b是a的约数,a是b的倍数。

概括

有了介绍中概述的两种用途,自然数首先被推广到这两种用途:序数用于描述元素在有序序列中的位置,数字版本用于确定集合的大小。在有限级数或有限集的情况下,这两种用途本质上是相同的。

数字组

N {\displaystyle \mathbb {N} } : 自然数集 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } : 整数集 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } : 有理数集 I {\ displaystyle \mathbb {I} } R ∖ Q {\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} } : 无理数集 R {\displaystyle \mathbb {R} } : 实数集

笔记

参考

外部链接

MathWorld 的自然数。