梅森素数

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May 23, 2022

梅森素数是等于 2n − 1 的素数。例 31 是梅森素数,因为 31 25 − 1(31 和 5 都是素数) Mn 成为素数的必要条件是 n。是素数,24 -1 15是合数,因为 4 不是素数,但反过来就不成立了:例如,梅森数 2047 211 − 1 不是素数,因为它可以被 89 和 23 整除,即使 11 是素数。目前,发现的最大素数通常是梅森素数。梅森素数与完全数密切相关,即数等于它们的真除数之和。从历史上看,梅森素数的研究已经被这些关联改变了。公元前四世纪,欧几里得指出,如果 M 是梅森素数,则 M(M+1)/2 是一个完全数。在十八世纪,Leonhard Euler 证明了所有偶数完全数都具有这种形式。没有已知的奇完美数,并且怀疑它们不存在。

找到梅森素数

下面的等式 2 a b − 1 ( 2 a − 1 ) ( 1 + 2 a + 2 2 a + 2 3 a + + 2 ( b − 1 ) a) {\displaystyle 2^{ab}-1(2^{a}-1)\cdot \left(1+2^{a}+2^{2a}+2^{3a}+\dots +2^ {(b-1)a}\right)} 表明只有当 n 本身是素数时 Mn 才能是素数,这简化了对梅森素数的搜索。相反,如果 n 是素数,则说 Mn 是素数是错误的。本例中最小的数是 211-1 23×89,它是合数。已经有几种用于寻找梅森素数的优化算法,因此现在知道非常大的梅森素数。前四个梅森素数 M 2 3 {\displaystyle M_{2}3} ,M 3 7 {\displaystyle M_{3}7} , M 5 31 {\displaystyle M_{5}31} 和 M 7 127 {\displaystyle M_{7}127} 自古以来就已为人所知。第五个数字 M 13 8191 {\displaystyle M_{13}8191} 是在 1461 年之前发现的;接下来的两个数字( M 17 {\displaystyle M_{17}} 和 M 19 {\displaystyle M_{19}} )是 Cataldi 在 1588 年发现的,他还预测了指数 23(费马拒绝了)、29(费马驳斥),37(欧拉驳回)。经过一个多世纪,M 31 {\displaystyle M_{31}} 于 1750 年由欧拉使用指数理论进行测试。下一个数字(历史上,不是按数字顺序)是 M 127 {\displaystyle M_{127}} ,由 Lucas 在 1876 年发现,然后 M 61 {\displaystyle M_{61}} 于 1883 年被 Pervushin 发现。另外两个数字( M 89 {\displaystyle M_{89}} 和 M 107 {\displaystyle M_{107}} )在 20 世纪被发现,由 Powers 在 1911 年和 1914 年提出。 自 17 世纪以来,这些数字以法国数学家 Marin Mersenne 的名字命名,他证明并预测了一系列具有指数的梅森素数:2, 3, 5, 7, 13, 17, 31, 67 , 127, 257. 他的清单犯了几个错误,例如包括 M67(科勒在 1901 年证明是复合的,具体来说:2 67 − 1 193,707,721 × 761,838.257,287 {\displaystyle 2^{67}-1193.707,721\times 761,838.257,287} )、M257(被证明是1、1、1、09中被遗忘的M752和M76的复合体)检验梅森数素性的最佳方法是基于周期级数的计算,该方法首先由 Lucas 于 1878 年提出,并于 1930 年代由 Lehmer 证明,现在称为梅森数的 Lucas-Lehmer 检验。特别地,我们可以证明(对于 n > 2 {\displaystyle n>2} ) M n 2 n − 1 {\displaystyle M_{n}2^{n}-1} 是素数当且仅当 Mn 可被 Sn-2 整除,其中 S 0 4 {\displaystyle S_{ 0}4 } 并且对于 k > 0 {\displaystyle k>0} , S k S k − 1 2 − 2 {\displaystyle S_{k}S_{k-1}^{2}-2} 。寻找梅森素数实际上被数字电子计算机彻底改变了。这个想法的第一个成功属于梅森素数 M521,这要归功于 1952 年 1 月 30 日晚上 10:00 使用美国西部国家标准局 (SWAC) 自动计算器的巧妙努力。在加州大学洛杉矶分校,在莱默的直接监督下,使用由 RM Robinson 教授编写和运行的程序。这是 38 年来发现的第一个梅森素数;下一个数字,M607,是这台电脑在运行近两个小时后找到的。接下来的三个数字——M1279、M2203、M2281——在几个月后被发现使用相同的程序。 M4253 是第一个梅森素数,它是一个超级素数(超过 1000 个小数位 - 泰坦尼克号),而 M44497 是第一个超过 10,000(巨)位小数的素数。截至 2008 年 9 月,只有 46 个梅森素数是已知的;最大的已知数是数 (243 112 609 − 1)。与之前的许多梅森素数一样,它是通过互联网上的一个分布式计算项目发现的,称为大互联网梅森素数搜索 (GIMPS)。

梅森素数定理

如果 n 是一个正整数,根据二项式定理我们可以写成: cn − dn ( c − d ) ∑ k 0 n − 1 ckdn − 1 − k {\displaystyle c^{n}-d^{n} (cd )\sum _{k0}^{n-1}c^{k}d^{n-1-k}} ,有 (2 a - 1) ⋅ (1 + 2 a + 2 2 a + 2 3 a +⋯ + 2 (b - 1) a) 2 a b− 1 {\displaystyle (2^{a}-1)\cdot \left(1+2^{a}+2^{2a}+2^{3a}+\dots +2^{(b-1) a}\right)2^{ab}-1} nhờ đặt c 2 a {\displaystyle c2^{a}} , d 1 {\displaystyle d1} , và nb {\displaystyle nb} Chứng minh:( a − b ) ∑ k 0 n − 1 akbn − 1 − k {\displaystyle (ab)\sum _{k0}^{n-1}a^{k}b^{n-1-k}} ∑ k 0 n − 1 ak + 1 十亿 − 1 −k − ∑ k 0 n − 1 akbn − k {\displaystyle \sum _{k0}^{n-1}a^{k+1}b^{n-1-k}-\sum _{k0}^ {n-1}a^{k}b^{nk}} an + ∑ k 1 n − 1 akbn − k− ∑ k 1 n − 1 akbn − k − bn {\displaystyle a^{n}+\sum _{k1}^{n-1}a^{k}b^{nk}-\sum _{k1} ^{n-1}a^{k}b^{nk}-b^{n}} an − bn {\displaystyle a^{n}-b^{n}} 如果 2 n − 1 {\displaystyle2^{n}-1} 是素数,那么 n {\displaystyle n} 是素数。证明 Do ( 2 a − 1 ) ( 1 + 2 a + 2 2 a + 2 3 a + + 2 ( b − 1 ) a ) 2 ab − 1 {\displaystyle (2^{a}-1)\cdot \left(1+2^{a}+2^{2a}+2^{3a}+\dots +2^{(b-1 )a}\right)2^{ab}-1} 如果 n {\displaystyle n} 不是素数,或者 nab {\displaystyle nab} 其中 1 < a , b < n {\displaystyle 1或 n a b {\displaystyle nab} 其中 1 < a , b < n {\displaystyle 1或 n a b {\displaystyle nab} 其中 1 < a , b < n {\displaystyle 1 1 {\displaystyle \gcd(2^{p}-1,2^{q-1}-1)>1} (*)。我们考虑以下引理:如果 a 和 b 是两个不同的正整数,则 gcd ( 2 a − 1 , 2 b − 1 ) 2 gcd ( a , b ) − 1 {\displaystyle \gcd(2^{a} - 1,2^{b}-1)2^{\gcd(a,b)}-1} 。事实上,假设 gcd ( a , b ) d {\displaystyle \gcd(a,b)d} ,它遵循 a k1d 和 b k2d。源自:2 a − 1 2 k 1 d − 1 ( 2 d − 1 ) × A {\displaystyle 2^{a}-12^{k_{1}d}-1\left(2^{d}-1\right )\times A} 2 b − 1 2 k 2 d −1 ( 2 d − 1 ) × B {\displaystyle 2^{b}-12^{k_{2}d}-1\left(2^{d}-1\right)\times B} 这就是引理我们已经设置好了。从引理导出: gcd ( 2 p − 1 , 2 q − 1 − 1 ) 2 gcd ( p , q − 1 ) − 1 {\displaystyle \gcd(2^{p}-1,2^{q-1}-1)2^{\gcd(p,q-1)}-1} 。假设 gcd ( p , q − 1 ) 1 {\displaystyle \gcd(p,q-1)1} 然后 gcd ( 2 p − 1 , 2 q − 1 − 1 ) 1 {\displaystyle \gcd( 2^{p }-1,2^{q-1}-1)1} ,这与 (*) 矛盾。所以我们必须有 gcd ( p , q − 1 ) > 1 {\displaystyle \gcd(p,q-1)>1} 。由于 p 是素数,因此 gcd ( p ,q − 1 ) p {\displaystyle \gcd(p,q-1)p} 或 q - 1 bp。由于 q 是 Mp 的奇数除数,q 是奇数,所以 b 2k 或 q 2kp + 1。由于 2p ≡ 1 (mod q) 那么 2p + 1 ≡ 2 (mod q),所以 2 p + 1 2 {\displaystyle 2^{\frac {p+1}{2}}} 是 2 modulo (modulus) q 的平方根,即它的解: x 2 ≡ 2 ( mod q ) {\displaystyle x^{2} \equiv 2{\pmod {q}}} . 根据二次互易:q ≡ ± 1 ( mod 8 ) {\displaystyle q\equiv \pm 1{\pmod {8}}} 。

迄今为止已知的梅森素数列表

(OEIS表中的A000668系列):没有人能够确认表中第40(M20 996 011)和第48(M57 885 161)个数字之间的任何梅森素数尚未被发现,因此这些顺序数字是暂时的。例如,第29个号码是在第30个和第31个号码之后发现的,第46个号码也在第45个号码前2周公布。为了可视化发现的最大素数(第 48 个数字)的大小,需要 4 647 页 A4 页来表示该数字,其中基数为 10 位数字、75 个单行数字和 50 个单行数字。如果使用 70 克/平方米重量的纸张,则需要 10 公斤以上的纸张(2,324 张)来打印大约 20 厘米厚的卷。将 n 减 1 的 2 次幂乘以相应的数将得到一个完美数。

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Repunit Fermat Primes Constant Erdős–Borwein Prime95 / MPrime Lucas–Lehmer Test with Mersenne Numbers Double Mersenne Mersenne twiner Prime Number Table

参考

外部链接

Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS),佛罗里达州奥兰多 Great Internet Mersenne Prime Search PrimeNet (v5.0):GIMPS Milestones Report Prime Mersenne Numbers – History, Theorems and Lists – giải thích Mersenne numbers – Wolfram Research/Mathematica Prime Mersenne numbers – Wolfram Research/Mathematica Mq (8x)2 - (3qy)2 Mersenne Proof (pdf) Mq x2 + d.y2 Math Thesis (ps) Mersenne Numbers & Mersenne Primes Bibliography with hyperlink to original Publication Die neue Primzahl ist 39 Kilometer lang, 11.03 .2005.dpa – 关于梅森素数的报道 – 详细检测(德语)梅森素数 Wiki Lưu trữ 2006-12-05 tại Wayback Machine 43rd Mersenne Prime Found tại MathWorld