莱昂哈德·欧拉

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May 23, 2022

莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler,OY-lər;德语:[ɔɪlər](听);读作法语音译的“Leona Euler”或更确切地说德语音译的“Leon-hat Oil”;1707年4月15日至1783年9月18日)是瑞士数学家、物理学家、天文学家、理论家和工程师。他(与阿基米德和牛顿一样)被认为是最杰出的数学家之一。他在微积分和图论等数学的许多分支中做出了重要而有影响的发现,并对拓扑学和解析数论等多个学科做出了开创性贡献。他还介绍了许多现代数学术语和符号,特别是数学分析,尤其是数学函数的概念。他还以在力学方面的工作而闻名,流体动力学、光学、天文学和音乐理论。欧拉是 18 世纪最著名的数学家之一,被认为是历史上最伟大的数学家之一。他还被许多人认为是有史以来最富有成效的数学家。他去世后,他的作品被收藏在《Leonhard Euler Opera Omnia》中,共85本大卷,4万多页,(估计一个人必须工作40年左右才能记录时间。这个项目)。他一生的大部分时间都在俄罗斯的圣彼得堡和当时的普鲁士首都柏林度过。皮埃尔-西蒙·拉普拉斯的一句话体现了欧拉对数学的影响:“读欧拉,读欧拉,他是我们所有人的主人。”月球上的一个陨石坑和小行星 2002 Euler 都以他的名字命名。

故事

青年

莱昂哈德·欧拉 (Leonhard Euler) 于 1707 年 4 月 15 日出生于瑞士巴塞尔城市巴塞尔。他是加尔文主义神学牧师巴塞拉·保罗三世·欧拉(Basela Paul III Euler)和牧师的女儿玛格丽特·尼·布鲁克(Marguerite Née Brucker)的儿子。他有两个姐妹,安娜·玛丽亚和玛丽亚·玛格达莱娜,还有一个弟弟约翰·海因里希。莱昂哈德出生后不久,他的父亲就从巴塞尔搬到了里亨镇,欧拉在那里度过了他童年的大部分时光。保罗欧拉是伯努利家族的朋友;约翰·伯努利后来被认为是欧洲最重要的数学家,对男孩莱昂哈德影响最大。欧拉继承了从巴塞尔开始的正规教育,在那里他和她的祖母住在一起。 1720 年,13 岁的他就读于巴塞尔大学,并于 1723 年,他获得了哲学硕士学位,论文比较了笛卡尔和牛顿的哲学。在那段时间里,他还在周六下午接受了约翰·伯努利的讲座,他很快发现了他的新学生非凡的数学天赋。当时,欧拉的主要研究包括神学、希腊语和希伯来语,跟随父亲的催促让欧拉成为牧师,但伯努利说服莱昂哈德的父亲相信这个男孩注定要成为一名伟大的数学家。1726年,欧拉完成了他的论文。以 De Sono 为标题的声音传输。当时,他试图在巴塞尔大学获得一席之地,但没有成功。 1727年,莱昂哈德首次参加巴黎学院的“数学解题比赛”;那一年的难题是找到将桅杆放在船上的最佳方法。后来被称为“造船之父”的皮埃尔·布格获胜,欧拉位居第二。欧拉随后十二次赢得了这项年度竞赛。

圣彼得堡

大约在这个时候,约翰伯努利的两个儿子丹尼尔和尼古拉斯正在圣彼得堡的俄罗斯帝国科学院工作。 1726 年 7 月 31 日,尼古拉斯在俄罗斯呆了不到一年的时间里死于阑尾炎,当丹尼尔接替他哥哥在数学/物理部门的职位时,他建议他弟弟腾出的位置在生理研究所。由他的朋友欧拉过来。 1726 年 11 月,欧拉急切地接受了这个提议,但因为在此期间他未能成功申请成为巴塞尔大学的物理学教授而推迟了他的圣彼得堡之行。欧拉于 1727 年 5 月 17 日抵达圣彼得堡。一段时间后,他从学院医学部的一名职员职位被提名为数学系的职位。他和丹尼尔·伯努利待在一起——两人经常与他密切合作。很长一段时间,欧拉习惯了俄罗斯,并决定住在圣彼得堡。他还曾在俄罗斯海军担任军医,彼得大帝创办的圣彼得堡学院的目的是提高俄罗斯的教育水平,缩小与西欧的科学差距。因此,研究所的活动对欧拉等外国学者特别有吸引力。研究所拥有丰富的财力和综合性图书馆,取材于彼得和贵族的私人图书馆。为了减轻教师的教学负担,学院很少招收学生,学院强调研究,并要求成员投入精力、时间和自由来追求科学问题。学院的赞助人叶卡捷琳娜一世女王延续了她已故丈夫的进步政策。随着彼得二世在 12 岁时即位,俄罗斯贵族获得了权力。贵族们对学院的外国科学家产生了怀疑,因此他们削减了运营成本并给欧拉和他的同事带来了其他困难。工作条件得到了改善。彼得二世去世后不久,欧拉从学院的行列中轻轻上升,成为教授1731 年获得物理学博士学位。两年后,深受审查制度和敌意影响的丹尼尔·伯努利 (Daniel Bernoulli) 离开了俄罗斯前往巴塞尔。欧拉接替他担任数学研究所所长。1734 年 1 月 7 日,他与格奥尔格·格塞尔的女儿凯瑟琳娜·格塞尔(1707-1773)结婚,教育学院的画家。这对年轻夫妇在涅瓦河边买了一所房子。在他们的 13 个孩子中,只有 5 个活到了成年。

柏林

出于对俄罗斯持续动荡的担忧,欧拉离开了圣彼得堡。 1741 年 6 月 19 日,应普鲁士腓特烈大帝的邀请,于 1741 年 6 月 19 日在柏林学院任职。他在柏林生活了 25 年,在那里写了 380 多篇文章。在柏林,他出版了两部后来成为最著名的著作:Introductio in analysin infinitorum,一本于 1748 年出版的关于数学函数的书,以及Institutiones calculi Differentis,于 1755 年出版的关于微分分析的书。 1755年,他被选为瑞典皇家科学院外籍院士。此外,欧拉还被要求教勃兰登堡-施威特的弗里德里克·夏洛特,或安哈尔特-德绍的公主和弗里德里希的侄女。欧拉在 1760 年代初期给她写了 200 多封信,这本书后来被编成畅销书,全名是欧拉写给普鲁士公主的关于各种自然哲学主题的信。这部作品包含欧拉对许多与物理和数学相关的主题的解释,并提供了对欧拉个性和宗教信仰的宝贵见解。这本书的阅读量超过了他的任何数学著作,并在欧洲和美国出版。 Euler's Letter 的流行证明了 Euler 有能力将科学问题有效地传达给一般受众(即非专家),这种能力在研究科学家中通常很少见。尽管欧拉对普鲁士科学院的声望做出了巨大贡献,他再次激怒了弗里德里希,最终不得不离开柏林。普鲁士国王在宫廷中被许多知识分子包围,他发现欧拉不高尚,除了计算和数字之外没有太多技巧。欧拉是一个单纯而虔诚的宗教人士,从不质疑当前的社会秩序或传统信仰;在许多情况下,与在弗里德里希宫廷中享有崇高地位的伏尔泰截然相反。欧拉不是一个很好的辩论家,他在辩论自己知之甚少的主题时经常表现出来,这使他成为伏尔泰诡计的常见目标。弗里德里希大帝在给伏尔泰的信中也对欧拉的实用技巧表示失望:我想要一个花园水龙头:欧拉计算了将水提升到水库中所需的水轮力,水从那里流入渠道,最终到达无忧宫的喷泉。我的水龙头是这样几何设计的,不能将水推入水库 50 步以内。真是胡说八道!华丽的几何!

视力障碍

在他的数学生涯中,欧拉的视力越来越差。 1738 年,在他几乎从发烧中恢复过来三年后,他的右眼几乎失明,但欧拉将这种情况归咎于圣彼得堡学院的制图工作。欧拉在德国逗留期间视力恶化,当时弗里德里希甚至称他为“独眼”。欧拉的左眼后来患上了白内障,并于 1766 年被发现。仅在发现几周后,他几乎完全失明。然而,这种情况似乎对他的工作能力影响不大,因为他有心算的天赋和超人的记忆力——这弥补了他视力不佳的问题。两眼都看不清时,欧拉说:“现在我不会那么分心了。”例如,欧拉可以从头到尾背诵 Publius Vergilius 的史诗《埃涅阿斯纪》,而且他还可以指出打印的每一页的第一行和最后一行。在助理抄写员的帮助下,欧拉在许多研究领域的工作效率实际上提高了。 1775 年,他平均每周写一页数学。欧拉家族还有一个双重名字,Euler-Schölpi,后者源自 schelb 和 schief,意思是盲人或残疾人。这表明欧拉家族的一些人有眼部问题。1775 年,他平均每周写一页数学。欧拉家族还有一个双重名字,Euler-Schölpi,后者源自 schelb 和 schief,意思是盲人或残疾人。这表明欧拉家族的一些人有眼部问题。1775 年,他平均每周写一页数学。欧拉家族还有一个双重名字,Euler-Schölpi,后者源自 schelb 和 schief,意思是盲人或残疾人。这表明欧拉家族的一些人有眼部问题。

返回俄罗斯并去世

1760 年,七年战争期间,欧拉在柏林夏洛滕堡的农场被俄罗斯士兵洗劫一空。伊万·彼得罗维奇·萨尔蒂科夫将军得知此事后,向欧拉赔偿了财产损失,之后伊丽莎白女王又额外赔偿了 4000 卢布——这在当时是一笔巨款。叶卡捷琳娜二世即位后,俄国政局趋于稳定,因此欧拉于 1766 年接受了返回圣彼得学院的邀请。彼得堡。他的条件相当高——年薪 3,000 卢布,妻子有退休金,儿子们有望获得有名望的职位。所有这些条件都被接受。他在俄罗斯度过了他生命的最后几年。然而,悲剧发生了。圣路易斯发生火灾1771 年的圣彼得堡让他失去了家园,几乎失去了生命。1773 年,他的妻子 Katharina 在结婚近 40 年后去世。Katharia 去世三年后,欧拉与妻子的(非父母)兄弟 Salome Abigail Gsell(1723-1794)结婚。这段婚姻一直持续到他去世。 1782年,他被选为美国艺术与科学学院的外国名誉院士。 1783 年 9 月 18 日在圣彼得堡,与家人共进午餐后,当欧拉正在与安德斯·约翰·莱克塞尔院士讨论新发现的天王星及其轨道时,他的祖父因脑溢血昏倒在地。几个小时后他就死了。 Jacob von Staehlin-Storcksburg 为俄罗斯科学院写了一篇简短的讣告。后来,俄罗斯数学家尼古拉斯·福斯,欧拉的学生之一,写了一篇更详细的悼词,他自己在追悼会上宣读了这篇悼词。在向法国学院致敬时,法国数学家兼哲学家孔多塞侯爵写道: il cessa de calculer et de vivre -...他停止计算并停止生活。欧拉被安葬在戈洛代岛的斯摩棱斯克路德会墓地,与他的妻子凯瑟琳娜相邻。 1785 年,俄罗斯科学院将莱昂哈德·欧拉 (Leonhard Euler) 的大理石半身像放置在研究所主席旁边的基座上。 1837 年,研究所为他的坟墓放置了一块墓碑。 1956 年为纪念欧拉诞辰 250 周年,墓碑被移走,他被重新安葬到亚历山大·涅夫斯基修道院——一座拥有 200 多年历史的墓地。欧拉被安葬在戈洛代岛的斯摩棱斯克路德会墓地,与他的妻子凯瑟琳娜相邻。 1785 年,俄罗斯科学院将莱昂哈德·欧拉 (Leonhard Euler) 的大理石半身像放置在研究所主席旁边的基座上。 1837 年,研究所为他的坟墓放置了一块墓碑。 1956 年为纪念欧拉诞辰 250 周年,墓碑被移走,他被重新安葬到亚历山大·涅夫斯基修道院——一座拥有 200 多年历史的墓地。欧拉被安葬在戈洛代岛的斯摩棱斯克路德会墓地,与他的妻子凯瑟琳娜相邻。 1785 年,俄罗斯科学院将莱昂哈德·欧拉 (Leonhard Euler) 的大理石半身像放置在研究所主席旁边的基座上。 1837 年,研究所为他的坟墓放置了一块墓碑。 1956 年为纪念欧拉诞辰 250 周年,墓碑被移走,他被重新安葬到亚历山大·涅夫斯基修道院——一座拥有 200 多年历史的墓地。

贡献

欧拉几乎涉足了数学的所有领域,如几何、无穷小、微积分、三角学、代数、数论,以及连续环境力学、月球理论等物理学领域。他是数学史上的杰出人物;如果印刷,他的作品,其中大部分是基础作品,将占60至80卷。欧拉这个名字与许多数学主题有关,以至于在数学中有一种说法,发现和定理是以欧拉之后证明它们的人命名的。欧拉是唯一有两个数字的数学家,以他的名字命名:微积分中的数字 e , e 约为 2.71828,而欧拉-马歇罗尼常数 γ (gamma) 有时也称为“欧拉常数”,约为 0.57721。数学家仍然不知道数 γ 是有理数还是无理数。

数学符号

欧拉通过他广为流传的书籍介绍并普及了几个概念和常规符号。最值得注意的是,他引入了函数的概念,并且是第一个写出 f(x) 来表示应用于参数 x 的函数 f 的人。他还给出了三角函数的现代符号,字母 e 代表自然对数(现在称为欧拉数)的底数,大写希腊字母代表总和符号,字母 i. 代表虚数单位。欧拉也推广了使用希腊字母 π 作为圆周长与直径之比的符号,尽管它的起源是威尔士数学家威廉·琼斯。

几何学

欧拉对几何的研究范围从平面几何到空间几何。他研究了三角形中直线的性质,结果如:欧拉直线定理、内切圆中心与外接圆中心之间的欧拉定理、三角形中的九点圆。他还发现了四边形边平方和与其对角线平方和之间的关系。在空间几何方面,他给出了欧拉角的定义来描述立体在3D空间中的方向和立体的旋转定理。欧拉还通过数学问题探索了几何与算术的关系。找到所有三个边和三个对角线的矩形每张脸都是自然数。

分析

无穷小微积分的发展是 18 世纪数学家的首要研究重点,而伯努利家族的数学家——欧勒的家人朋友——在该领域的早期发展中发挥了重要作用。由于他们的影响,分析研究成为欧拉的主要关注点。虽然欧拉的一些证明不被现代数学严谨性标准所接受(他特别基于代数一般性原理,但他的工作带来了许多重大突破。欧拉在微积分中也因频繁使用和发展幂级数而闻名,其中函数表示为项的无穷和,像 e x ∑ n 0 ∞ x n n ! lim n → ∞ ( 1 0 ! + x 1 !+ x 2 2 ! + ⋯ + x n n ! )。 {\displaystyle e^{x}\sum _{n0}^{\infty }{x^{n} \over n!}\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{ 0!}}+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!} }\right).} Đặc biệt,欧拉直接证明了 e 的指数级数展开公式和反三角正切(间接通过牛顿和莱布尼茨在 1670 年至 1680 年期间引入的逆幂级数技术)。他对幂级数的大胆使用使他能够在 1735 年解决著名的巴塞尔问题(并且他在 1741 年进行了更彻底的论证),对自然数的平方的倒数求和。:ζ (2) ∑ n 1 ∞ 1 n 2 lim n → ∞ (1 1 2 + 1 2 2+ 1 3 2 + ⋯ + 1 n 2 ) π 2 6 。 {\displaystyle \zeta (2)\sum _{n1}^{\infty }{1 \over n^{2}}\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{1 ^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{ 2}}}\right){\frac {\pi ^{2}}{6}}。} 其中 ζ ( s ) {\displaystyle \zeta (s)} 是欧拉 zeta 函数(不要与黎曼 zeta 函数混淆,后者在 x 域中并不完全相同)。欧拉在分析证明中介绍了指数和对数函数的使用。他发现了如何将许多不同的对数函数表示为幂级数,并成功定义了负数和复数的对数,从而有助于进一步扩展对数的数学应用范围。他还定义了复数的指数函数,并发现了它与三角函数的关系。对于任何实数(以弧度为单位的测量单位),复指数函数的欧拉公式写为 e i φ cos ⁡ φ + i sin ⁡ φ 。 {\displaystyle e^{i\varphi }\cos \varphi +i\sin \varphi .} 上述公式的一个特例是欧拉恒等式,ei π + 1 0 {\displaystyle e^{i \pi }+ 10}被物理学家Richard P. Feynman认为是“数学中最了不起的公式”,因为在一个公式中,有加法、乘法、求幂和等号运算。,以及显示重要常数0之间的关系, 1、e、i 和 π。 1988 年,Mathematical Intelligencer 杂志的读者将其评为“有史以来最美丽的数学公式”。在投票的公式中,本次投票的前5名中有3个欧拉公式,另外,早在1707年Abraham de Moivre发现的de Moivre公式就成为了欧拉公式系统的直接结果。此外,欧拉通过引入伽马函数和求解四元方程的新方法,深化了超越函数理论。他还找到了一种计算复变量积分的方法,为现代复分析的发展提供了初步基础。他发明了变分微积分,并获得了该行业的著名成果,即欧拉-拉格朗日方程。欧拉是使用分析方法解决数论问题的先驱。通过这种方法,他将两个看似独立的数学领域结合在一起,并引入了一个新的研究领域,解析数论。欧拉在这一领域的突破可列举为超几何级数、q-级数、双曲三角函数和广义分数间解析理论。例如,他利用调和级数的散度证明了无穷多个素数定理,并利用解析方法对素数的分布有了更多的了解。欧拉在这方面的工作导致了质数定理的发展,定理说明素数在两个给定正整数之间的分布)。

数论

欧拉对数论的兴趣可以追溯到数学家克里斯蒂安·哥德巴赫的影响,他是他在圣约翰学院的朋友。彼得堡。欧拉早期在数论方面的大部分工作都是基于皮埃尔·德·费马的工作。欧拉发展了费马的一些思想,驳斥了数学家的一些猜想,欧拉将素数分布的性质与微积分领域的思想联系起来。他证明了素数倒数之和的散度(参见英文维基百科)。在研究这个和的过程中,他发现了黎曼 zeta 函数和素数之间的联系;其结果被称为 Riemann zeta 函数乘积公式的欧拉证明(参见英文维基百科)。欧拉证明了牛顿的身份(参见英文维基百科),费马小定理,关于两个平方和的费马定理,对拉格朗日关于四个平方和的定理做出了重要贡献(参见英文维基百科)。他发明了phi函数φ(n),即小于或等于整数n与n一起为质数的正整数的个数。利用这个函数的性质,他将费马小定理推广为现在称为欧拉定理的定理。他对完美数理论做出了特别重要的贡献,自欧几里德时代以来,完美数理论就为数学家着迷。欧拉证明了完美数和梅森素数之间的显式联系,之前欧几里德证明了它是一对一的关系,其结果现在由欧几里德-欧拉定理知道(每个素数梅森都会给出一个完美数,反之亦然)。欧拉还对二次互易律做了一个猜想。这个概念被认为是数论的基本定理,他的想法为卡尔·弗里德里希·高斯 (Carl Friedrich Gauss) 后期关于二次互易性的工作奠定了基础。 1772 年,欧拉证明了 231 − 1 2,147,483,647 是梅森素数。它是 1867 年之前已知的最大素数。

图论

1735 年,欧拉提出了著名的柯尼斯堡七桥问题的解决方案。当时的普鲁士王国的柯尼斯堡市位于普雷格尔河畔,其中两个大岛通过 7 座桥梁相互连接并与大陆相连。问题在于,是否有一种无缝的方式,一次只过一座桥,回到起点。答案是没有这样的路径:或者没有欧拉路径。这个解被认为是图论,尤其是平面图论领域的第一定理,欧拉还发现了公式 V − E + F 2 {\displaystyle V-E+F2}边数和凸多面体的面数,也适用于平面图。这个公式中的常数后来称为图的欧拉特性(或对于数学对象),与对象的品种有关。推广这个公式的工作,尤其是柯西和L'Huilier,以及许多其他数学家的工作,为后来拓扑学领域的发展奠定了基础。

应用数学

欧拉的一些最伟大的成功是在分析解决实际问题方面,以及在研究伯努利数、傅里叶级数、欧拉数、常数 e 和 π、干涉和乘积的许多应用方面。他将莱布尼茨的微积分与牛顿的导数方法结合起来,开发了一些工具,使其在将微积分应用于实际问题时更容易使用。他通过数值近似对积分进行了很大的改进,发明了今天众所周知的欧拉近似。这些近似中最突出的是欧拉方法和欧拉-麦克劳林公式。他还简化了微分方程的使用,特别引入了 Euler-Mascheroni 常数:γ lim n → ∞ (1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 +⋯ + 1 n - ln ⁡ (n))。{\displaystyle \gamma \lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4 }}+\cdots +{\frac {1}{n}}-\ln(n)\right).} Euler 奇怪的兴趣之一是将数学思想应用到音乐中。 1739 年他写了 Tentamen novae theoriae musicae,希望让音乐理论成为数学的一部分。然而,他的这一研究领域并未受到广泛关注,被形容为音乐家的数学内容过多,数学家的音乐内容过多。希望使音乐理论成为数学的一部分。然而,他的这一研究领域并未受到广泛关注,被形容为音乐家的数学内容过多,数学家的音乐内容过多。希望使音乐理论成为数学的一部分。然而,他的这一研究领域并未受到广泛关注,被形容为音乐家的数学内容过多,数学家的音乐内容过多。

物理学和天文学

Euler 帮助开发了 Euler-Bernoulli 梁方程,该方程后来成为工程物理学的基础。除了将他的分析工具成功应用于经典力学问题之外,欧拉还将这些技术应用于天体力学问题。他的天文学研究在他的职业生涯中获得了法国科学院的多项奖项。他的成就包括高精度确定彗星和其他天体的轨道,了解彗星的性质,以及计算太阳的视差。他的计算也为后来精密经度制表的发展做出了贡献,此外,欧拉对光学领域也做出了重要贡献。他不赞成牛顿在光学中的粒子光理论,这在当时是一个占主导地位的理论。他在 1740 年代的论文帮助确保了克里斯蒂安·惠更斯 (Christiaan Huygens) 提出的光的波动理论恢复为更广泛接受的理论,直到光的量子理论的发展。光。1757 年,他发表了一个重要的方程组,描述了无粘性流动,现在称为流体力学的欧拉方程(它是流体力学方法的一个特例。纳维-斯托克斯程序)。在微分形式中,这些方程是:∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ (ρ u) 0 ∂ (ρ u) ∂ t + ∇ ⋅ (u ⊗ (ρ u)) + ∇ p 0 ∂ E ∂ t+ ∇ ⋅ ( u ( E + p ) ) 0 , {\displaystyle {\begin{aligned}&{\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )0\ \[1.2ex]&{\partial (\rho {\mathbf {u} }) \over \partial t}+\nabla \cdot (\mathbf {u} \otimes (\rho \mathbf {u} ))+ \nabla p\mathbf {0} \\[1.2ex]&{\partial E \over \partial t}+\nabla \cdot (\mathbf {u} (E+p))0,\end{aligned}} } 其中 ρ 是流体的密度,u 是流体的速度矢量,具有分量 u、v 和 w,E ρ e + ½ ρ (u2 + v2 + w2) 是单位体积的总能量,其中 e 是流体单位质量的内能,p 是压力,⊗ 表示张量积,0 是向量-零. 欧拉在结构力学中也是众所周知的,它具有作用在理想垂直杆上的临界力的公式,其特性仅取决于其长度和弯曲刚度:F π 2 EI ( KL ) 2 {\displaystyle F{\frac {\pi ^{2}EI}{(KL)^{2}}}} 其中 F 是极限或最大力(理想柱的轴向力) ,E弹性模量,I柱截面惯性矩面积,L柱自由长度,K有效长度因子,其值取决于两个柱端点的结合条件,理论上定义如下: (例如铰链,自由旋转),K 1,0 两个固定安装座,K 0,50 一个夹头,一个接头,K 0.699… 一个安装,一个自由,K 2.0K L 是柱的有效长度 EI 是柱的抗弯刚度。

逻辑

欧拉还使用闭合曲线来说明三段论的解释 (1768)。这些图现在称为欧拉图。欧拉图是集合及其之间关系的图形表示。欧拉图由平面中的简单闭合曲线(通常是圆)组成,并表示集合。每条欧拉闭合曲线将平面划分为两个区域或“域”:内部区域包含集合的元素,外部区域包含不属于该集合的元素。闭合曲线的大小或形状并不重要;该图的重要性在于曲线共享一个公共域。域之间的空间关系由对应于集合论(交集、子集和非交集)的闭合曲线(在域中共享、包含或分离)界定。内部区域不相交的闭合子路径称为非相交集。两条闭合曲线在共享相同元素的两个集合的表示中共享一个公共域;两个其他区域内的一个域代表两个集合的公共元素(两个集合的交集)。完全位于另一条闭合曲线内的闭合曲线表示集合的子集。欧拉图和维恩图一起作为 1960 年代新数学课程的一部分被引入到集合论课程中。从那时起,集合表示图被接受和接受,也被用于其他领域。两个其他区域内的一个域代表两个集合的公共元素(两个集合的交集)。完全位于另一条闭合曲线内的闭合曲线表示集合的子集。欧拉图和维恩图一起作为 1960 年代新数学课程的一部分被引入到集合论课程中。从那时起,集合表示图被接受和接受,也被用于其他领域。两个其他区域内的一个域代表两个集合的公共元素(两个集合的交集)。完全位于另一条闭合曲线内的闭合曲线表示集合的子集。欧拉图和维恩图一起作为 1960 年代新数学课程的一部分被引入到集合论课程中。从那时起,集合表示图被接受和接受,也被用于其他领域。

音乐

即使在研究音乐时,欧拉的方法也主要基于数学建模。他的音乐论文不算多(只有几百页厚,总共约 30,000 页),但它们反映了他早期对生活的不懈关注。欧拉音乐理论的第一点是“流派”的定义,或使用素数 3 和 5 划分八度音程的可能性数。欧拉描述了这 18 种类型,一般定义为 2mA。,其中 A 是类型的“表示数”(或以 3 和 5 为基数)和 2m(其中“m 是任意数字,无论大小,直到声音仍可感知为止。条”),表示满足独立于所考虑的八度音阶数量的关系。第一类,A 1,是八度(或其对应物);第二类,2m.3,是一个八度除以一个八度(5+4,C-G-C);第三类是2m.5,大三度+小六度(C-E-C);第 4 类是 2m.32,两个象限和一个音调 (C–F–B♭–C);类别 5 为 2m.3.5 (C–E–G–B–C);等等。 12 (2m.33.5)、13 (2m.32.52) 和 14 (2m.3.53) 流派分别是针对古人的全音阶、半音阶和和弦音阶的调音。流派 18 (2m.33.52) 是一种“全音阶半音阶”流派,“常用于所有和弦”,已成为约翰·马特森所描述的系统的同义词。然后欧拉试验了通过添加质数 7 来描述流派的能力。欧拉设计了一段特殊的音乐,Speculum musicum,来说明全音阶半音阶流派,并讨论了图表中的路径。这个显示每个特定的音程,重新点燃了他对柯尼斯堡七桥问题的兴趣(见上文)。该工具应用于雨果黎曼新理论中的 Tonnetz 概念(另见 Orchestra(音乐))。欧拉继续使用“幂”数表示的原理,提出了一种求音程的 gradus suavitatis(愉悦)和来自素数系数的和弦——注意他只考虑音调,例如索引 1 和素数 3 和 5。建议的公式扩展自 这个系统给出了一个包含任何素数的系统,例如形式 ds Σ (kipi – ki) + 1其中 pi 是素数,ki 是它们的指数。建议如何从素数中找到音程和和弦的 gradus suavitatis(愉悦度)——注意他只考虑了音调,例如索引 1 和素数 3 和 5。提议的公式从这个系统扩展到包含任何素数的系统,例如 ds Σ (kipi – ki) + 1 形式,其中 pi 是素数,ki 是它们的指数。建议如何从素数中找到音程和和弦的 gradus suavitatis(愉悦度)——注意到他只考虑了音调,例如索引 1 和素数 3 和 5。提议的公式从这个系统扩展到包含任何素数的系统,例如 ds Σ (kipi – ki) + 1 形式,其中 pi 是素数,ki 是它们的指数。

哲学与信仰

欧拉和他的朋友丹尼尔伯努利是莱布尼茨的一元论和克里斯蒂安沃尔夫哲学的反对者。欧拉断言,智力知识是精确定量描述定律基础的一个基本部分,一元论和沃尔夫的哲学没有解决这一问题。欧拉的宗教取向也可能影响了教义上的厌恶;他开始相信沃尔夫的思想是“异教和无神论的”。欧拉对宗教信仰的理解可以追溯到给德国公主的信和早期的作品,Rettung der Göttlichen Offenbahrung Gegen die Einwürfe der Freygeister(捍卫上帝的启示反对自由人的反对)。这些著作表明欧拉是一位虔诚的基督徒,谁相信圣经会受到启示; Rettung 主要是对经文的神圣启示的论证。有一个著名的神话灵感来自欧拉与世俗宗教哲学家的争论,背景是欧拉在圣彼得堡森林焊接研究所的第二次。法国哲学家丹尼斯·狄德罗应叶卡捷琳娜二世的邀请访问俄罗斯。然而,皇后被警告说这位哲学家的无神论论点可能会影响她的宫廷成员,因此欧拉被要求与这位法国哲学家争论。狄德罗被告知一位数学家提出了上帝存在的证明:他同意上法庭查看证明。欧拉出现,走近狄德罗,用充满信念的声音自信地说:“先生,a+bn/nx,所以上帝存在——他回答说!” 不懂数学的狄德罗(根据故事说),站在场边的人都笑了由女王批准。然而,鉴于狄德罗也是数学家,这可能是一个可笑的轶事。首先由 Dieudonné Thiébault 报道,并从 Augustus De Morgan 那里获得了额外的信息。因为狄德罗也是一位数学家。这则轶事首先由 Dieudonné Thiébault 讲述,并从 Augustus De Morgan 处获得更多信息。因为狄德罗也是一位数学家。这则轶事首先由 Dieudonné Thiébault 讲述,并从 Augustus De Morgan 处获得更多信息。

纪念馆

欧拉图像已出现在 10 瑞士法郎硬币以及许多瑞士、德国和俄罗斯邮票上。小行星 2002 Euler 以他的名字命名。路德教会也在 5 月 24 日的弥撒上纪念他(这也是教会对尼古拉·哥白尼的纪念日)——他是一个虔诚的基督徒(相信不朽)。圣经中的错误),他写了道歉和有力的论据反对他那个时代著名的无神论者。 Euler-Bernoulli 梁理论首先由 Leonhard Euler 和 Daniel Bernoulli 提出,是一种简化的线弹性理论,用于计算建筑设计中的承重梁和梁挠度。欧拉公式将三角函数与复指数函数 eix cos ⁡ ( x ) + i sin ⁡ ( x ) {\displaystyle e^{ix}\cos(x)+i\sin(x)\ } 联系起来,其退化形式是欧拉身份 ei π + 1 0 {\displaystyle e^{i\pi }+10} 当 x π {\displaystyle x\pi } 。

著名作品

欧拉有大量著作,但他最著名的著作包括:《机械师》(1736 年)。 Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, sive solutio problematis isoperimetrici latissimo sensu accepti (1744)。以最广泛接受的方式寻找具有最大或最小特性的曲线或同构问题的解决方案的方法。分析素 infinitorum 简介 (1748)。有两本书影响了微积分:Institutiones calculi Differentis (1755) 和Institutiones calculiintegris (1768–1770)。 Principia motus fluidorum(流体运动原理;1761):;这本书介绍了连续性方程和欧拉方程。 Vollständige Anleitung zur Algebra(代数导论;1765 年)。这本关于初等代数的书首先讨论了数字的性质和代数的概述,包括求解多项式方程的公式。 Lettres à une Princesse d'Allemagne(写给德国公主的信;1768-1772)。欧拉的第一部作品集由保罗·海因里希·冯·弗斯于 1862 年创作。欧拉的作品集,标题为 Opera Omnia,自 1911 年以来由瑞士艺术与科学院欧拉委员会。欧拉作品的完整列表可以在 Wayback Machine (PDF) 的 Eneström 索引档案 2019-08-19 中查看。欧拉的第一部作品集由保罗·海因里希·冯·福斯于 1862 年创作。欧拉的作品集名为 Opera Omnia,自 1911 年起由欧拉科学与艺术学院委员会出版,是瑞士艺术。欧拉作品的完整列表可以在 Wayback Machine (PDF) 的 Eneström 索引档案 2019-08-19 中查看。欧拉的第一部作品集由保罗·海因里希·冯·福斯于 1862 年创作。欧拉的作品集名为 Opera Omnia,自 1911 年起由欧拉科学与艺术学院委员会出版,是瑞士艺术。欧拉作品的完整列表可以在 Wayback Machine (PDF) 的 Eneström 索引档案 2019-08-19 中查看。

引用

“Lisez Euler,lisez Euler,c'est notre maître à tous。” (阅读欧拉,他是各个领域的大师。)——皮埃尔-西蒙·拉普拉斯

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笔记

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