一分为二

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May 24, 2022

在数论中,整除性是整数集上的二元关系。这种关系也可以扩展到环上的元素。整除关系与数论中的许多重要概念有关,例如质数、合数、算术基本定理……

整数集的整除关系

给定两个整数 a 和 b。如果存在一个整数 q 使得 ab.q ,那么我们说 a 可以被 b 整除(符号 a ⋮ b {\displaystyle a~\vdots ~b} ),或者 b 是 a 的约数(符号 b ∣ a ) {\displaystyle b\mid a})。然后也称 a 为 b 的倍数(或简称为倍数),而 b 为 a 的除数(或简称为除数)。例如:15 3.5,所以 15 可以被 3 整除,3 可以被 15 整除,15 是 3 的倍数,3 是 15 的除数。特别是 0 可以被所有非零数整除,所有整数都可以被整除除以 1,每个非零整数都可以被自身整除。因此,除 1 以外的每个整数都至少有两个除数,1 和它本身。若整数b|a,其倒数-b也是a的约数。因此在很多情况下,如果 n 是一个自然数,我们只对 n 的自然因数感兴趣。 1 以外的自然数只要有 1 和它本身的两个自然约数,就叫做素数,大于 1 的自然数叫做合数。如果 n 的除数与 1, -1, n, -n 不同,则称其为非​​平凡的。素数没有非平凡的除数。 1, -1, n, -n 是 n 的平凡除数。

余数除法定理

给定 a, b 是两个整数(b 不是 0),那么只存在两个整数 q, r 使得 bq+r 0 ≤ r <|b|。我们有 a 作为除数,b 作为除数,q 作为商,r 作为余数。a除以b,余数为0;第一的; 2;...; |b|-1。(符号|b| 是b 的绝对值。)特别是如果r 为0,则a bq,则a 可被b 整除。

自然

a) 如果 a ⋮ b {\displaystyle a~\vdots ~b} 和 b ⋮ c {\displaystyle b~\vdots ~c} 那么 a ⋮ c {\displaystyle a~\vdots ~c} 。 b) 如果 a ⋮ b {\displaystyle a~\vdots ~b} , a ⋮ c {\displaystyle a~\vdots ~c} 和 UCLN(b, c)1 那么 a ⋮ bc {\displaystyle a~\vdots ~公元前}。c) 如果 a b ⋮ c {\displaystyle a~\vdots ~c} 和 UCLN(b,c)1 则 a ⋮ c {\displaystyle a~\vdots ~c} 。 d) 在 n 个连续整数中,只有一个可以被 n 整除(n≥1)。证明:如果n个连续整数除以n,则有n个成对不同的余数。其中0的余数只有一个,即只有一个数能被n整除。e) 如果 a ⋮ m {\displaystyle a~\vdots ~m} 和 b ⋮ m {\displaystyle b~\vdots ~m} 那么 ( a + b ) m {\displaystyle (a+b)~\vdots ~ m } 和 ( a − b ) ⋮ m {\displaystyle (ab)~\vdots ~m} 。证明:由于 a ⋮ m {\displaystyle a~\vdots ~m} 所以 am.n1,因为 b ⋮ m {\displaystyle b~\vdots ~m} 所以 bm.n2 (n1, n2 是整数)。所以a+bm。(n1+n2) 其中 (n1+n2) 是一个整数,所以 ( a + b ) ⋮ m {\displaystyle (a+b)~\vdots ~m} 。

算术基本定理

算术的基本定理(或质因数唯一分解定理)陈述如下:每个大于 1 的自然数都可以用唯一的方式(不管因数的顺序不同)写成质因数的乘积,例如如 6936 2 3 × 3 × 17 2 , {\displaystyle 69362^{3}\times 3\times 17^{2},\,\!} 1200 2 4 × 3 × 5 2 。 {\displaystyle 12002^{4}\times 3\times 5^{2}.\,\!一般而言:任何大于 1 的自然数 n 都可以唯一地写为:n p 1 α 1 p 2 α 2… p k α k {\ displaystyle n {p_ {1}} ^ alpha \ alpha_{1}}{p_{2}}^{\alpha _{2}}{\dots }{p_{k}}^{\alpha _{k}}} 其中 p 1 , p 2 , ... , pk {\displaystyle {p_{1}},{p_{2}},,{\dots },{p_{k}}} 是素数。这个等式的右边称为 n' 的标准简约形式。p 2 , , ... , p k {\displaystyle {p_{1}},{p_{2}},,{\dots },{p_{k}}} 是素数。这个等式的右边称为 n' 的标准简约形式。p 2 , , ... , p k {\displaystyle {p_{1}},{p_{2}},,{\dots },{p_{k}}} 是素数。这个等式的右边称为 n' 的标准简约形式。

数 n 的自然因数集

自然数 n 的自然因数的个数

自然数 n 的自然因数的个数表示为 τ ( n ) {\displaystyle \tau (n)} 给定自然数 n > 1 和上述标准解析形式。然后 n 的每个除数 b 具有以下形式:b p 1 β 1 p 2 β 2… p k β k {\ displaystyle b {p_ {1}} {{\ beta _ {1}} {p_ {2}} ^ {\ beta_{2}}{\dots }{p_{k}}^{\beta _{k}}} 其中 0 ≤ β i ≤ α i {\displaystyle 0\leq \beta _{i}\leq \ alpha _{i}} 对于每个 1 ≤ i ≤ k {\displaystyle 1\leq i\leq k} 。因此,n 的所有自然因数的个数是 τ ( n ) ( β 1 + 1 ) ( β 2 + 1 ) ⋯ ( β k + 1 ) ,{\displaystyle \tau (n)(\beta _{1}+1)(\beta _{2}+1)\cdots (\beta _{k}+1),} 例如:6936 2 3 × 3 × 17 2 , {\displaystyle 69362^{3}\times 3\times 17^{2},\,\!} ,所以数 6936 有自然因数 (3+1).(1+1) 。 (2+1)24。\!} ,所以数字 6936 有自然除数 (3+1).(1+1).(2+1)24 的个数。\!} ,所以数字 6936 有自然除数 (3+1).(1+1).(2+1)24 的个数。

自然数 n 的自然因数之和

自然数n的自然因数之和用σ(n)表示。(n) 的计算公式如下 ( n ) p 1 β 1 + 1 − 1 p 1 − 1p 2 β 2 + 1 - 1 p 2 - 1 ˙ ˙pk β k + 1 - 1 pk - 1 {\ displaystyle \ sigma (n) {\ frac {{p_ {1}} ^ {\ beta _ {1} +1} -1} {{p_ {1}} - 1}} {\ dot {\ frac {{p_ {2}} ^ {\ beta _ {2} +1} -1} {{p_ {2}} - 1}}} \ dots {\ frac {{p_ {k}} ^ {\ 测试版_{k}+1}-1}{{p_{k}}-1}}} 另见:除数之和 n 的除自身以外的自然因数称为 n 的真因数(或真因数)。如果自然数 n 的真除数之和等于 n 本身或 σ ( n ) 2 n ˙ {\displaystyle \sigma (n)2{\dot {n}}} 那么 n 被称为完美数字。例如:数字 6 有 1,2、3 和 6 的质数除数 1 + 2 + 3 所以 6 是一个完全数。数字 28 有正确的除数 1,2, 4, 7, 14 和 28 1 + 2 + 4 + 7 + 14 所以 28 是一个完全数。如果自然数 n 的真除数之和等于 n 本身或 σ ( n ) 2 n ˙ {\displaystyle \sigma (n)2{\dot {n}}} 那么 n 被称为完美数字。例如:数字 6 有 1,2、3 和 6 的质数除数 1 + 2 + 3 所以 6 是一个完全数。数字 28 有正确的除数 1,2, 4, 7, 14 和 28 1 + 2 + 4 + 7 + 14 所以 28 是一个完全数。如果自然数 n 的真除数之和等于 n 本身或 σ ( n ) 2 n ˙ {\displaystyle \sigma (n)2{\dot {n}}} 那么 n 被称为完美数字。例如:数字 6 有 1,2、3 和 6 的质数除数 1 + 2 + 3 所以 6 是一个完全数。数字 28 有正确的除数 1,2, 4, 7, 14 和 28 1 + 2 + 4 + 7 + 14 所以 28 是一个完全数。数字 28 有正确的除数 1,2, 4, 7, 14 和 28 1 + 2 + 4 + 7 + 14 所以 28 是一个完全数。数字 28 有正确的除数 1,2, 4, 7, 14 和 28 1 + 2 + 4 + 7 + 14 所以 28 是一个完全数。

自然数集中的可分性关系

N {\displaystyle \mathbb {N} } 自然数集合 N {\displaystyle \mathbb {N} } 中的可分性关系是一个序数关系。在 N {\displaystyle \mathbb {N} } 中,对于任意两个非零元素 a, b,在 N {\displaystyle \mathbb {N} } 中存在一个元素 d,它是 a 的右下界和 b 根据 N {\displaystyle \mathbb {N} } 关系是可整除的,即 d|a 和 d|b;对于所有满足 1.d'|a 和 d'|b 的 d',则 d'|d。这个元素是 GCLN(a, b)。类似地,对于任意两个非零的自然数 a 和 b,在 N {\displaystyle \mathbb {N} } 中存在一个元素 m,它是 a 和 b 根据整除关系的正确上界,即 a|m 和 b|m;对于所有满足 1. a|m' 和 cb 的 m';然后m|m'。这个元素是BCNN(a, b)。换句话说, N {\displaystyle \mathbb {N} } 与整除关系一起形成一个阶段。

参考