拉格朗日点

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January 24, 2022

拉格朗日点、平衡点(拉丁文 librātiō - wobble)或 L 点是两个大质量物体系统中的点,其中第三个物体的质量可以忽略不计,除了前两个物体的引力外,没有任何其他力,可以相对于这些身体保持不动。更准确地说,拉格朗日点代表了解决所谓的有限三体问题的一种特殊情况——当所有物体的轨道都是圆形的,其中一个的质量远小于其他两个的质量。在这种情况下,我们可以假设两个大质量物体以恒定角速度围绕它们的公共质心旋转。在它们周围的空间中有五个点,质量可以忽略不计的第三个物体可以在旋转参考系中保持静止,与巨大的身体有关。在这些点上,作用在小物体上的重力被离心力平衡了。拉格朗日点的名字是为了纪念数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日(Joseph Louis Lagrange),他是 1772 年第一个解决数学问题的人,由此得出这些奇点的存在。

拉格朗日点的位置

所有拉格朗日点都位于大质量天体的轨道平面内,并用大写拉丁字母 L 表示,数字索引从 1 到 5。前三个点位于穿过两个大质量天体的一条线上。这些拉格朗日点称为共线,用 L1、L2 和 L3 表示。点 L4 和 L5 称为三角形或特洛伊点。 L1、L2、L3点是不稳定平衡点,L4和L5点平衡是稳定的。 L1 位于系统的两个天体之间,更接近质量较小的天体; L2 - 外面,在一个较小的身体后面;和 L3 为更大规模的。在原点位于系统质心且轴从质心指向质量较小的物体的坐标系中,这些点在 α 中的一阶近似中的坐标使用以下公式计算:r 1 ( R [ 1 − ( α 3 ) 1 / 3 ] , 0 ) {\displaystyle r_{1}\left(R\left[1-\left({\frac {\alpha }{3}}\right )^{1/3}\右],0\right)} r 2 ( R [ 1 + ( α 3 ) 1 / 3 ] , 0 ) {\displaystyle r_{2}\left(R\left[1+\left({\frac {\alpha }{ 3}}\右)^{1/3}\右],0\right)} r 3 ( − R [ 1 + 5 12 α ] , 0 ) {\displaystyle r_{3}\left(-R\left[1+{\frac {5}{12}}\alpha \对],0 \ right)} 其中 α M 2 M 1 + M 2 {\ displaystyle \ alpha {\ frac {M_ {2}} {M_ {1} + M_ {2}}}},R 是物体之间的距离,M1 - 较大物体的质量,M2 是第二个物体的质量。M2 是第二个物体的质量。M2 是第二个物体的质量。

L1

点 L1 位于连接质量为 M1 和 M2 的两个物体的直线上(M1> M2),并位于它们之间,靠近第二个物体。它的存在是由于物体 M2 的重力部分补偿了物体 M1 的重力。此外,M2 越大,该点离它越远。示例:比地球更靠近太阳的物体的轨道周期往往比地球短,除非它们处于重力影响区。如果物体直接位于地球和太阳之间,那么地球引力的作用部分补偿了太阳引力的影响,因此,物体的轨道周期增加。而且,物体离地球越近,这种效应就越强。最后,在某个接近地球的地方——在 L1 点——地球引力的作用平衡了太阳引力的影响,因此物体绕太阳公转的周期变得等于地球公转的周期。对于我们的星球,到 L1 点的距离约为 150 万公里。这里的太阳引力 (118 µm / s²) 比地球轨道 (116 µm / s²) 强 2%,而所需向心力的减少是地球轨道 (59 µm / s²) 的一半。这两种效应的总和由地球重力平衡,这里也等于 177 µm / s²。而所需向心力的减少量则是 (59 µm / s²) 的一半。这两种效应的总和由地球重力平衡,这里也等于 177 µm / s²。而所需向心力的减少量则是 (59 µm / s²) 的一半。这两种效应的总和由地球重力平衡,这里也等于 177 µm / s²。

用法

在日地系统中,L1点可能是空间天文台观测太阳的理想位置,在这个位置上地球或月球都不会覆盖太阳。第一个在这一点附近运行的航天器是 1978 年 8 月发射的 ISEE-3 航天器。该装置于 1978 年 11 月 20 日进入围绕该点的周期性光环轨道,并于 1982 年 6 月 10 日脱离轨道(以执行新任务)。自 1996 年 5 月以来,SOHO 一直在同一轨道上运行。 ACE、WIND和DSCOVR航天器分别自1997年12月12日、2001年11月16日和2015年6月8日起在同一点附近的准周期Lissajous轨道上运行。 2016-2017年,LISA探路者仪器也在该点附近进行了实验。月球点L1(地月系统中;大约在公元31.5万年前离开地球中心)。km) 可能是建造太空载人轨道站的理想场所,该站位于地球和月球之间的路径上,可以以最低的燃料成本轻松到达月球,并成为货物的关键节点在地球和它的卫星之间流动。

L2

点 L2 位于连接质量为 M1 和 M2 的两个物体的直线上(M1> M2),并且位于质量较小的物体后面。点 L1 和 L2 位于同一条线上,并且在极限中 M1 ≫ M2 相对于 M2 对称。在 L2 点,作用在物体上的重力补偿了旋转参考系中的离心力。示例:位于地球轨道之外(来自太阳)的物体的轨道周期几乎总是比地球的轨道周期长。但地球引力对物体的额外影响,除了太阳引力的作用外,导致自转速度增加,绕太阳公转时间减少,因此,在L2点,物体的轨道周期变得等于地球的轨道周期。如果 M2 的质量远小于 M1,那么点 L1 和 L2 与物体 M2 的距离 r 大致相同,等于希尔球体的半径: r ≈ RM 2 3 M 1 3 {\ displaystyle r \ approx R {\ sqrt [{3}] {\ frac {M_ {2}} {3M_ {1}}}}}其中 R 是系统组件之间的距离。这个距离可以描述为围绕 M2 的圆形轨道的半径,在没有 M1 的情况下,其轨道周期为 3 ≈ 1.73 {\ displaystyle {\ sqrt {3}} \ 约 1.73} 倍,比 M2 围绕 M1 的轨道周期。

用法

日地系统的 L2 点(距地球 1,500,000 公里)是建造轨道空间天文台和望远镜的理想场所。由于 L2 点的物体能够长时间保持相对于太阳和地球的方向,因此筛选和校准它变得更加容易。然而,这个点比地球的阴影(在半影区)稍远一点,所以太阳辐射没有被完全阻挡。目前(2021 年)Gaia 和 Spektr-RG 卫星都在这一点附近的光环轨道上。此前,普朗克和赫歇尔等望远镜在那里运行,未来计划向那里发送更多望远镜,包括詹姆斯韦伯(2021年)。地月系统的 L2 点(距月球 61,500 公里)可用于提供与月球背面物体的卫星通信; 2018 年,中国卫星鹊桥首次实现了这一机会,这是月球嫦娥四号远端任务历史上首次任务的中继。

L3

点 L3 位于连接质量为 M1 和 M2 的两个物体的直线上(M1> M2),并且位于质量较大的物体的后面。就像 L2 点一样,此时重力补偿了离心力的作用。示例:日地系统中的 L3 点位于太阳后面,地球轨道的另一侧。然而,尽管地球引力很小(与太阳相比),但地球对那里的影响仍然很小,所以 L3 点不在地球轨道本身,而是稍微靠近太阳(263 公里,或大约 0.0002%)。因为自转不是围绕太阳发生,而是围绕重心发生。结果,在 L3 点,实现了太阳和地球引力的结合,使得位于该点的物体以与地球相同的轨道周期运动。在太空时代开始之前,地球轨道的另一侧L3点存在与它相似的另一颗行星的想法,称为“反地球”,由于其位置,无法获得直接观察,在科幻作家中很受欢迎。但实际上,由于受其他行星的引力影响,太阳-地球系统中的L3点极不稳定。因此,在每 20 个月发生一次地球和金星在太阳两侧的日心合相期间,金星只有 0.3 天文单位。从 L3 点开始,因此对其相对于地球轨道的位置有非常严重的影响。此外,由于[澄清]太阳-木星系统相对于地球的重心和地球轨道的椭圆度不平衡,所谓的“反地球”还是会时不时的被观测到,肯定会被注意到的。另一个会暴露其存在的效应是它自身的引力:一个已经在 150 公里或更多数量级的天体对其他行星轨道的影响将是显而易见的。随着使用航天器和探测器进行观测的可能性的出现,可靠地表明此时没有大于 100 m 的物体。位于 L3 点附近的轨道航天器和卫星可以不断监测各种形式的活动太阳表面——尤其是新斑点或耀斑的出现——并及时向地球传输信息(例如,作为 NOAA 空间天气预测中心空间天气预警系统的一部分)。除了,来自此类卫星的信息可用于确保远程载人飞行的安全,例如飞往火星或小行星的飞行。 2010 年,研究了发射此类卫星的几种选择。

L4 和 L5

如果在连接系统两个物体的直线的基础上,构造两个等边三角形,其两个顶点分别对应物体 M1 和 M2 的中心,那么点 L4 和 L5 将对应第三个顶点的位置这些三角形位于他前后 60 度的第二个天体的轨道平面内。这些点的存在和它们的高稳定性是由于这样一个事实,因为在这些点到两个物体的距离相同,两个大质量物体侧面的吸引力与它们的质量成相同的比例,因此合力指向系统的质心;此外,力三角形的几何形状证实,产生的加速度与到质心的距离的关系与两个大质量物体的比例相同。由于质心同时是系统的旋转中心,产生的力与将物体保持在拉格朗日点与系统其余部分轨道平衡所需的力完全匹配。 (实际上,第三体的质量不应该忽略不计)。这种三角形结构是拉格朗日在研究三体问题时发现的。点 L4 和 L5 称为三角形(与共线相反)。这些点也被称为特洛伊木马:这个名字来自木星的特洛伊小行星,它们是这些点表现的最显着的例子。它们以荷马史诗《伊利亚特》中特洛伊战争的英雄命名,L4点的小行星以希腊人的名字命名,L5点的小行星以特洛伊的捍卫者命名;因此,他们现在被称为“希腊人”(或“亚该亚人”)和“特洛伊人”。从系统质心到坐标系中这些点的距离,坐标中心位于系统质心处,使用以下公式计算:r 4 (R 2 β, 3 R 2) {\ displaystyle r_ {4} \ left ({\ frac {R} {2}} \ beta,{\frac {{\sqrt {3}}R}{2}}\right)} r 5 ( R 2 β , − 3 R 2 ) {\displaystyle r_{5}\left({\frac {R}{ 2}}\测试版,- {\ frac {{\ sqrt {3}} R} {2}} \ right)} 其中 β M 1 - M 2 M 1 + M 2 {\ displaystyle \ beta {\ frac {M_ {1} -M_ { 2}} {M_ {1} + M_ {2}}}},R 是物体之间的距离,M1 是更大质量的物体的质量,M2 是第二个物体的质量。拉格朗日点在太阳-地球系统中的位置 L1 (1.48104 * 1011, 0) L2 (1,51092*1011, 0) L3(-1,49598*101, 0) L4(7,47985*1010, 1,29556*1011) L5(7,47985*1010, -1,29556*1011)

示例

2010年,在L4特洛伊木马点的日地系统中发现了一颗小行星。在 L5 中尚未发现特洛伊小行星,但在那里观察到相当大量的行星际尘埃。根据一些观察,在地月系统的 L4 和 L5 点,有非常稀薄的行星际尘埃 - Kordylevsky 云。在太阳-木星系统中,在L4和L5点附近,有所谓的特洛伊小行星。截至 2010 年 10 月 21 日,在 L4 和 L5 点已知大约有四千五万颗小行星。位于 L4 和 L5 点的特洛伊小行星不仅存在于木星中,还存在于其他巨行星中。另一个有趣的例子是土星的卫星 Tethys,在 L4 和 L5 点有两个小卫星——Telesto 和 Calypso。另一对卫星在 Saturn-Dione 系统中是已知的:Elena 在 L4,Polidevk 在 L5。 Tethys 和 Dione 的质量是它们的“病房”的数百倍,比土星轻得多,这使得系统稳定。月球撞击形成模型的场景之一表明,由于月球与地球碰撞,假设的原行星(小行星)Theia 形成于太阳的 L4 或 L5 拉格朗日点 -地球系统。人们最初认为,在 Kepler-223 系统中,四颗行星中的两颗以 60 度的距离在一个轨道上围绕太阳旋转。然而,进一步的研究表明,该系统不包含共轨行星。假设的原行星(小行星)Theia,由于月球与地球的碰撞,形成于太阳-地球系统的 L4 或 L5 拉格朗日点。人们最初认为,在 Kepler-223 系统中,四颗行星中的两颗以 60 度的距离在一个轨道上围绕太阳旋转。然而,进一步的研究表明,该系统不包含共轨行星。假设的原行星(小行星)Theia,由于月球与地球的碰撞,形成于太阳-地球系统的 L4 或 L5 拉格朗日点。人们最初认为,在 Kepler-223 系统中,四颗行星中的两颗以 60 度的距离在一个轨道上围绕太阳旋转。然而,进一步的研究表明,该系统不包含共轨行星。

拉格朗日点的平衡

放置在共线拉格朗日点的物体处于不稳定平衡状态。例如,如果一个物体在 L1 点沿连接两个大质量物体的直线发生轻微位移,吸引它到它正在接近的物体的力会增加,而来自另一个物体的吸引力则相反。结果,物体会越来越远离平衡位置。 L1 点附近天体的这种行为特征在近距离双星系统中起着重要作用。此类系统组件的罗氏瓣在 L1 点接触,因此,当其中一颗伴星在演化过程中填满其罗氏瓣时,物质就会从一颗恒星准确地通过 L1 拉格朗日点附近流向另一颗恒星。尽管如此,至少在三体问题的情况下,共线平衡点周围存在稳定的闭合轨道(在旋转坐标系中)。如果运动也受到其他天体的影响(就像在太阳系中发生的那样),而不是封闭的轨道,天体将以 Lissajous 图形的形式在准周期轨道上移动。尽管这样的轨道不稳定,但航天器可以在其中停留很长时间,消耗的燃料量相对较少。与共线平衡点不同,如果 M1 / M2> 24.96,则在 Trojan 点中确保稳定的平衡。当物体发生位移时,会产生科里奥利力,使轨迹弯曲,物体在围绕平衡点的稳定轨道上运动。如果运动也受到其他天体的影响(就像在太阳系中发生的那样),而不是封闭的轨道,天体将以 Lissajous 图形的形式在准周期轨道上移动。尽管这样的轨道不稳定,但航天器可以在其中停留很长时间,消耗的燃料量相对较少。与共线平衡点不同,如果 M1 / M2> 24.96,则在 Trojan 点中确保稳定的平衡。当物体发生位移时,会产生科里奥利力,使轨迹弯曲,物体在围绕平衡点的稳定轨道上运动。如果运动也受到其他天体的影响(就像在太阳系中发生的那样),而不是封闭的轨道,天体将以 Lissajous 图形的形式在准周期轨道上移动。尽管这样的轨道不稳定,但航天器可以在其中停留很长时间,消耗的燃料量相对较少。与共线平衡点不同,如果 M1 / M2> 24.96,则在 Trojan 点中确保稳定的平衡。当物体发生位移时,会产生科里奥利力,使轨迹弯曲,物体在围绕平衡点的稳定轨道上运动。航天器可以在其上停留很长时间,消耗的燃料量相对较少。与共线平衡点不同,如果 M1 / M2> 24.96,则在 Trojan 点中确保稳定的平衡。当物体发生位移时,会产生科里奥利力,使轨迹弯曲,物体在围绕平衡点的稳定轨道上运动。航天器可以在其上停留很长时间,消耗的燃料量相对较少。与共线平衡点不同,如果 M1 / M2> 24.96,则在 Trojan 点中确保稳定的平衡。当物体发生位移时,会产生科里奥利力,使轨迹弯曲,物体在围绕平衡点的稳定轨道上运动。

实际使用

航天领域的研究人员长期以来一直关注拉格朗日点。例如,在地日系的L1点,可以方便地放置一个空间太阳观测台——它永远不会落入地球的阴影中,这意味着可以连续进行观测。 L2 点适用于太空望远镜——这里地球几乎完全遮住了阳光,而且它本身不会干扰观测,因为它面向 L2 的一面没有照亮。地月系统的L1点便于在探月期间定位中继站。它将在月球面向地球的大部分半球的视线中,并且要与它通信,您需要比与地球通信低十倍的发射器。目前,一些航天器,主要是天体物理天文台,放置或计划放置在太阳系的各个拉格朗日点:地球-太阳系的 L1 点:ISEE-3 国际彗星探测器(1978 年发射)设计用于研究太阳风的 WIND 航天器(1994 年发射)。 SOHO(英文Solar and Heliospheric Observatory,“太阳和日光层天文台”)(1995年启动)。 Genesis 是 NASA 的航天器,旨在收集太阳风样本并将其运送到地球。围绕拉格朗日点 L1 发射轨道,然后飞越 L2 点。 Advanced Composition Explorer(1997 年推出)。空间天文台 DSCOVR(2015 年发射)。 LISA Pathfinder 正在测试计划建造演进型激光干涉仪空间天线 (eLISA) 所需的技术。 eLISA 任务的目的,计划于 2034 年发射,是记录引力波和测试广义相对论的能力(2015 年发射)。太空望远镜“赫歇尔”和“普朗克”(2009 年发射)。欧洲望远镜“盖亚”(2013 年发射)。取代哈勃望远镜的詹姆斯韦伯太空望远镜。发射被推迟到2021年11月。空间天文台 Spektr-RG(于 2019 年发射)。 2024年,欧空局还计划在L2部署PLATO太空望远镜其他拉格朗日点:2009年9月-10月,两架STEREO航天器经过L4和L5。 JIMO(木星冰卫星轨道器)——取消了美国宇航局探索木星卫星的项目,它应该积极使用拉格朗日点系统以最小的燃料消耗从一颗卫星移动到另一颗卫星。这个动作被称为“拉格朗日阶梯”。 2018年5月20日,由长征四号C运载火箭发射的鹊桥中继卫星,围绕地月系统L1和L2点的THEMIS多颗航天器,在围绕地月L2拉格朗日点的光环轨道上运行系统。

文化参考

拉格朗日点在有关太空探索的科幻小说中颇为流行。作者经常在其中放置可居住或自动化的电台 - 例如,请参阅 Edmond Hamilton 的“Return to the Stars”、Vernor Vinge 的“Deep in the Sky”、William Gibson 的“Neuromancer”、Neil Stevenson 的“Semie”,电视系列《巴比伦5》、动漫《机动战士高达》、电脑游戏《猎物》、《无主之地2》、赛博朋克2077(水晶宫赌场所在地)拉格朗日角。《安德烈·巴拉布基》、外星神器(拉里·尼文的《保护者》)和甚至整个行星(保罗安德森的“他们不回来的星球”)。艾萨克·阿西莫夫提议将放射性废物送到拉格朗日点(“从上面看”)。

注释(编辑)

评论来源

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拉格朗日点 科幻小说中的拉格朗日点大卫·彼得·斯特恩。拉格朗日点的位置,近似值