拉格朗日平底船

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January 22, 2022

拉格朗日点(以意大利数学家和天文学家约瑟夫-路易斯·拉格朗日的名字命名)是一种特殊形式的轨道共振。在拉格朗日点,空间站等小天体可以与围绕共同重心运行的两个天体保持固定的相对位置。这个位置,视情况而定,或多或少是稳定的。相对于两个天体,拉格朗日点中物体的质量必须可以忽略不计,并且该质量必须具有正确的速度和方向。任何围绕共同重心旋转的双天体系统都有五个拉格朗日点,其中三个位于连接两个天体的线上。这适用于二体系统,例如,太阳和地球,太阳和另一个行星,地球和它的月亮。除了在拉格朗日点“静止不动”之外,小物体还可以围绕它运行。拉格朗日点作为空间站的位置有几个优点,就像地球静止轨道对于某些观测和通信目的有优势一样。

日地系统的拉格朗日点

拉格朗日点在下面解释了太阳-地球系统,但这也比照适用于其他二体系统。

拉格朗日船 L1

点 L1 位于地球和太阳之间的直线上。根据开普勒第三定律,比地球更靠近太阳的物体的轨道周期必须比地球短。然而,如果我们在地球和太阳之间的直线上离地球足够近,地球的引力就会抵消太阳的引力,并且在这一点上物体的轨道周期会增加。这创建了点 L1,其中的轨道周期等于地球的轨道周期。 Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) 首先计算了这一点。拉格朗日点 L1 是距月球距离的四倍,距太阳约 150 万公里。太阳观测卫星Solar and Heliospheric Observatory (SOHO) 位于L1,因此可以连续观测太阳。卫星围绕 L1 运行,因此它并不完全在太阳的方向上。由于太阳辐射的干扰,这将使通信变得困难。此外,考虑到 L1 的稳定性,绕 L1 的轨道只能在垂直于地球-太阳线的平面内。 SOHO的轨道在围绕太阳的轨道方向上的半长轴约为660,000公里。距离地球约150万公里,与太阳方向的最大偏差为几十度。深空气候观测站 (DSCOVR) 也位于这里。给定 L1 的稳定性。 SOHO的轨道在围绕太阳的轨道方向上的半长轴约为660,000公里。距离地球约150万公里,与太阳方向的最大偏差为几十度。深空气候观测站 (DSCOVR) 也位于这里。给定 L1 的稳定性。 SOHO的轨道在围绕太阳的轨道方向上的半长轴约为660,000公里。距离地球约150万公里,与太阳方向的最大偏差为几十度。深空气候观测站 (DSCOVR) 也位于这里。

拉格朗日船 L2

拉格朗日点 L2 也在地球和太阳之间的轴上,但现在离太阳比地球更远。在地球之外运行的物体的轨道周期通常比地球慢。然而,地球引力的作用方向与太阳的方向相同。由于向内力较大,物体的轨道时间缩短,所以点L2存在。它与 L1 的距离与地球的距离大致相同,但在另一方面:在太阳方向上距离月球的距离是其四倍,因此始终处于地球的阴影中。拉格朗日点 L2 用于空间观测,因为 L2 中的物体相对于太阳和地球保持相同的位置,使校准更容易。在这一点上的天基观测卫星将永远有太阳、地球和月亮在它后面,以便屏蔽更容易,并且可以全天候继续观察。卫星不会直接放置在 L2 中,因为该点总是在地球的阴影锥中,因此无法使用太阳能电池板来提供能量。因此,卫星被放置在地球阴影锥之外的围绕 L2 的轨道上。威尔金森微波各向异性探测器已经在环绕地球/太阳拉格朗日点 L2 的轨道上运行。提议的詹姆斯韦伯太空望远镜也将被放置在围绕拉格朗日点 L2 的轨道上。 2009 年 5 月,欧洲航天局 (ESA) 将赫歇尔太空望远镜和普朗克天文台发射到围绕 L2 的轨道上。另一颗卫星 Gaia 于 2013 年 12 月 19 日发射,它将被放置在围绕 L2 点的类似 Lissajous 的轨道上。并且可以全天候进行观察。卫星不会直接放置在 L2 中,因为该点总是在地球的阴影锥中,因此无法使用太阳能电池板来提供能量。因此,卫星被放置在地球阴影锥之外的围绕 L2 的轨道上。威尔金森微波各向异性探测器已经在环绕地球/太阳拉格朗日点 L2 的轨道上运行。提议的詹姆斯韦伯太空望远镜也将被放置在围绕拉格朗日点 L2 的轨道上。 2009 年 5 月,欧洲航天局 (ESA) 将赫歇尔太空望远镜和普朗克天文台发射到围绕 L2 的轨道上。另一颗卫星 Gaia 于 2013 年 12 月 19 日发射,它将被放置在围绕 L2 点的类似 Lissajous 的轨道上。并且可以全天候进行观察。卫星不会直接放置在 L2 中,因为该点总是在地球的阴影锥中,因此无法使用太阳能电池板来提供能量。因此,卫星被放置在地球阴影锥之外的围绕 L2 的轨道上。威尔金森微波各向异性探测器已经在环绕地球/太阳拉格朗日点 L2 的轨道上运行。提议的詹姆斯韦伯太空望远镜也将被放置在围绕拉格朗日点 L2 的轨道上。 2009 年 5 月,欧洲航天局 (ESA) 将赫歇尔太空望远镜和普朗克天文台发射到围绕 L2 的轨道上。另一颗卫星 Gaia 于 2013 年 12 月 19 日发射,它将被放置在围绕 L2 点的类似 Lissajous 的轨道上。卫星不会直接放置在 L2 中,因为该点总是在地球的阴影锥中,因此无法使用太阳能电池板来提供能量。因此,卫星被放置在地球阴影锥之外的围绕 L2 的轨道上。威尔金森微波各向异性探测器已经在环绕地球/太阳拉格朗日点 L2 的轨道上运行。提议的詹姆斯韦伯太空望远镜也将被放置在围绕拉格朗日点 L2 的轨道上。 2009 年 5 月,欧洲航天局 (ESA) 将赫歇尔太空望远镜和普朗克天文台发射到围绕 L2 的轨道上。另一颗卫星 Gaia 于 2013 年 12 月 19 日发射,它将被放置在围绕 L2 点的类似 Lissajous 的轨道上。卫星不会直接放置在 L2 中,因为该点总是在地球的阴影锥中,因此无法使用太阳能电池板来提供能量。因此,卫星被放置在地球阴影锥之外的围绕 L2 的轨道上。威尔金森微波各向异性探测器已经在环绕地球/太阳拉格朗日点 L2 的轨道上运行。提议的詹姆斯韦伯太空望远镜也将被放置在围绕拉格朗日点 L2 的轨道上。 2009 年 5 月,欧洲航天局 (ESA) 将赫歇尔太空望远镜和普朗克天文台发射到围绕 L2 的轨道上。另一颗卫星 Gaia 于 2013 年 12 月 19 日发射,它将被放置在围绕 L2 点的类似 Lissajous 的轨道上。因为那个点总是在地球的阴影锥内,因此不可能使用太阳能电池板来提供能量。因此,卫星被放置在地球阴影锥之外的围绕 L2 的轨道上。威尔金森微波各向异性探测器已经在环绕地球/太阳拉格朗日点 L2 的轨道上运行。提议的詹姆斯韦伯太空望远镜也将被放置在围绕拉格朗日点 L2 的轨道上。 2009 年 5 月,欧洲航天局 (ESA) 将赫歇尔太空望远镜和普朗克天文台发射到围绕 L2 的轨道上。另一颗卫星 Gaia 于 2013 年 12 月 19 日发射,它将被放置在围绕 L2 点的类似 Lissajous 的轨道上。因为那个点总是在地球的阴影锥内,因此不可能使用太阳能电池板来提供能量。因此,卫星被放置在地球阴影锥之外的围绕 L2 的轨道上。威尔金森微波各向异性探测器已经在环绕地球/太阳拉格朗日点 L2 的轨道上运行。提议的詹姆斯韦伯太空望远镜也将被放置在围绕拉格朗日点 L2 的轨道上。 2009 年 5 月,欧洲航天局 (ESA) 将赫歇尔太空望远镜和普朗克天文台发射到围绕 L2 的轨道上。另一颗卫星 Gaia 于 2013 年 12 月 19 日发射,它将被放置在围绕 L2 点的类似 Lissajous 的轨道上。因此,卫星被放置在地球阴影锥之外的围绕 L2 的轨道上。威尔金森微波各向异性探测器已经在环绕地球/太阳拉格朗日点 L2 的轨道上运行。提议的詹姆斯韦伯太空望远镜也将被放置在围绕拉格朗日点 L2 的轨道上。 2009 年 5 月,欧洲航天局 (ESA) 将赫歇尔太空望远镜和普朗克天文台发射到围绕 L2 的轨道上。另一颗卫星 Gaia 于 2013 年 12 月 19 日发射,它将被放置在围绕 L2 点的类似 Lissajous 的轨道上。因此,卫星被放置在地球阴影锥之外的围绕 L2 的轨道上。威尔金森微波各向异性探测器已经在环绕地球/太阳拉格朗日点 L2 的轨道上运行。提议的詹姆斯韦伯太空望远镜也将被放置在围绕拉格朗日点 L2 的轨道上。 2009 年 5 月,欧洲航天局 (ESA) 将赫歇尔太空望远镜和普朗克天文台发射到围绕 L2 的轨道上。另一颗卫星 Gaia 于 2013 年 12 月 19 日发射,它将被放置在围绕 L2 点的类似 Lissajous 的轨道上。提议的詹姆斯韦伯太空望远镜也将被放置在围绕拉格朗日点 L2 的轨道上。 2009 年 5 月,欧洲航天局 (ESA) 将赫歇尔太空望远镜和普朗克天文台发射到围绕 L2 的轨道上。另一颗卫星 Gaia 于 2013 年 12 月 19 日发射,它将被放置在围绕 L2 点的类似 Lissajous 的轨道上。提议的詹姆斯韦伯太空望远镜也将被放置在围绕拉格朗日点 L2 的轨道上。 2009 年 5 月,欧洲航天局 (ESA) 将赫歇尔太空望远镜和普朗克天文台发射到围绕 L2 的轨道上。另一颗卫星 Gaia 于 2013 年 12 月 19 日发射,它将被放置在围绕 L2 点的类似 Lissajous 的轨道上。

拉格朗日船 L3

拉格朗日点 L3 也位于地球和太阳之间的轴上,但从地球上看,现在位于太阳的另一侧。此时的物体在同一方向受到地球和太阳的引力。然而,在这么远的距离上,地球的引力很小。因此,拉格朗日点 L3 离太阳几乎和地球一样远(到公共重心的距离稍大,到太阳的距离稍小)。当定位在拉格朗日点 L3 时,卫星总是在地球的视线之外。与卫星的直接通信似乎很困难(太阳介于两者之间),除非通过卫星在拉格朗日点 L4 和 L5 处进行必要的时间延迟。

拉格朗日点 L4 至 L5

拉格朗日点 L4 和 L5 在地球轨道上,领先或落后于地球-太阳距离的 1 倍(在一条直线上,而不是沿着轨道的曲率)。因此,该物体位于等边三角形的尖端,以地球-太阳轴为底。由于物体到太阳和地球的距离相等,吸引力之比等于太阳质量与地球质量之比。结果,合力将恰好通过二体系统的重心。所产生的力正好足够大,以至于轨道周期等于地球的轨道周期。拉格朗日点 L4 和 L5 是唯一在围绕太阳的轨道上以相同速度运动的拉格朗日点,因为它们与地球的距离与太阳的距离相同。L4 上是特洛伊小行星 2010 TK7。 Kordylewski 云也可能出现在这些点上。地月系统的拉格朗日点 L4 和 L5 是正在考虑可能建立太空殖民地的位置。

地-日系统中 L1 和 L2 的推导

L1

拉格朗日点 1 位于太阳和地球之间。根据拉格朗日点的定义,该点的轨道周期必须等于地球绕太阳公转的轨道周期。我们从万有引力定律和向心加速度定律得到地球周期的公式:G M Zon M a r d d 2M a r d e v 2 d v 2 πd T G M zon M a r d d 2马德 ( 2 π d T ) 2d ⇔ T 4 π 2 d 3 GM sun {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {GM_{sun}M_{earth}}{d^{2}}}&{\frac {M_{earth}v^{2}}{d} }\\\\v&{\frac {2\pi d}{T}}\\\\{\frac {GM_{sun}M_{earth}}{d^{2}}}&{\frac {M_ {地球}({\frac {2\pi d}{T}})^{2}}{d}}\\\\\Leftrightarrow T&{\sqrt {\frac {4\pi ^{2}d^ {3}}{GM_{sun}}}}\end{aligned}}} L1 点的力等于太阳引力和地球引力之差。该点的合力应提供与地球轨道周期相同的向心力:G m M z o n ( d − x ) 2 − G mM a r d e x 2 m v 2 d − xv 2 π ( d − x ) T ⇔ G M z on ( d − x ) 2 − G M a r d e x2 (2 π (d - x) T) 2d − x {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {GmM_{sun}}{(dx)^{2}}}-{\frac {GmM_{earth}}{x^{2}}}& {\frac {mv^{2}}{dx}}\\\\v&{\frac {2\pi (dx)}{T}}\\\\\Leftrightarrow {\frac {GM_{sun}}{ (dx)^{2}}}-{\frac {GM_{earth}}{x^{2}}}&{\frac {({\frac {2\pi (dx)}{T}})^ {2}}{dx}}\end{aligned}}} 为了保持等式可行,我们假设 x {\displaystyle x} 相对于 d {\displaystyle d} 很小,因此我们可以应用二项式发展.G M z o n d 2 ( 1 − x d) − 2 − G M a r d e x 2 4π 2 d T 2 (1 - x d) (1 -x d ) − 2 ≈ 1 − 2 ( − x d ) 1 + 2 x d⇔ G M z on d 2 ( 1 + 2 xd ) − G M a r d e x 2 4π 2 d T 2 ( 1 − x d ) ⇔ GM z o n d 2 ( 1 + 2 x d ) -G M a r d x 2 4 π 2 d( 4 π 2 d 3 G M z on ) 2 ( 1 − x d ) ⇔G M z o n d 2 ( 1 + 2 x d ) -G M a r d x 2 G M z o nd 2 ( 1 − x d ) ⇔ G M z o nd 2 ( 1 + 2 x d ) − G M z o nd 2 ( 1 − x d ) − G M a r d ex 2 0 ⇔ G M z on d 2( 3 x d ) − G M a r d e x 20 ⇔ G M z on d 2 ( 3 d) G M a r d e x 3 ⇔ 3M z o n M a r d d 3 1 x3 ⇔ M a r d e d 3 3 Mz o n x 3 ⇔ x ( M a r de 3 M zon ) 1 / 3 d {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {GM_{zon}}{d^{2}}}\left(1-{\frac {x}{d}} \right)^{-2}-{\frac {GM_{aarde}}{x^{2}}}&{\frac {4\pi ^{2}d}{T^{2}}}\left(1-{\frac {x}{d}}\right)\\\\\left(1-{\压裂 {x}{d}}\right)^{-2}\approx 1-2\left(-{\frac {x}{d}}\right)1+{\frac {2x}{d}} \\\\\Leftrightarrow {\frac {GM_{zon}}{d^{2}}}\left(1+{\frac {2x}{d}}\right)-{\frac {GM_{aarde} }{x^{2}}}&{\frac {4\pi ^{2}d}{T^{2}}}\left(1-{\frac {x}{d}}\right)\ \\\\Leftrightarrow {\frac {GM_{zon}}{d^{2}}}\left(1+{\frac {2x}{d}}\right)-{\frac {GM_{aarde}} {x^{2}}}&{\frac {4\pi ^{2}d}{\left({\sqrt {\frac {4\pi ^{2}d^{3}}{GM_{zon }}}}\right)^{2}}}\left(1-{\frac {x}{d}}\right)\\\\\Leftrightarrow {\frac {GM_{zon}}{d^{ 2}}}\left(1+{\frac {2x}{d}}\right)-{\frac {GM_{aarde}}{x^{2}}}&{\frac {GM_{zon}} {d^{2}}}\left(1-{\frac {x}{d}}\right)\\\\\Leftrightarrow {\frac {GM_{zon}}{d^{2}}}\ left(1+{\frac {2x}{d}}\right)-{\frac {GM_{zon}}{d^{2}}}\left(1-{\frac {x}{d}} \right)-{\frac {GM_{aarde}}{x^{2}}}&0\\\\\Leftrightarrow {\frac {GM_{sun}}{d^{2}}}\left({\frac {3x}{d}}\right)-{\frac {GM_{地球}} {x^{2}}}&0\\\\\Leftrightarrow {\frac {GM_{sun}}{d^{2}}}\left({\frac {3}{d}}\right)&{ \frac {GM_{earth}}{x^{3}}}\\\\Leftrightarrow {\frac {3M_{sun}}{M_{earth}d^{3}}}&{\frac {1} {x^{3}}}\\\\\Leftrightarrow {\frac {M_{earth}d^{3}}{3M_{sun}}}&x^{3}\\\\Leftrightarrow x&\left( {\frac {M_{earth}}{3M_{sun}}}\right)^{1/3}d\end{aligned}}} 填充地球质量后:5.972•1024 kg,太阳:1,989•1030 kg 地球-太阳距离:149,600,000 公里 我们得到拉格朗日点 1 与地球的距离为 150 万公里。{\frac {GM_{地球}}{x^{3}}}\\\\\Leftrightarrow {\frac {3M_{Sun}}{M_{Earth}d^{3}}}&{\frac {1 {x^{3}}}\\\\\Leftrightarrow {\frac {M_{earth}d^{3}}{3M_{sun}}}&x^{3}\\\\Leftrightarrow x&\left ({\frac {M_{earth}}{3M_{sun}}}\right)^{1/3}d\end{aligned}}} 填充地球质量后:5.972•1024 kg,质量从太阳:1,989•1030 kg 地球-太阳距离:149,600,000 公里 我们得到拉格朗日点 1 与地球的距离为 150 万公里。{\frac {GM_{地球}}{x^{3}}}\\\\\Leftrightarrow {\frac {3M_{Sun}}{M_{Earth}d^{3}}}&{\frac {1 {x^{3}}}\\\\\Leftrightarrow {\frac {M_{earth}d^{3}}{3M_{sun}}}&x^{3}\\\\Leftrightarrow x&\left ({\frac {M_{earth}}{3M_{sun}}}\right)^{1/3}d\end{aligned}}} 填充地球质量后:5.972•1024 kg,质量从太阳:1,989•1030 kg 地球-太阳距离:149,600,000 公里 我们得到拉格朗日点 1 与地球的距离为 150 万公里。距离地球 500 万公里的拉格朗日点 1。距离地球 500 万公里的拉格朗日点 1。

L2

对于拉格朗日点 2,推导相同,但要特别注意减号。 L2 点的力等于太阳引力和地球引力之和,两者方向相同。该点的合力必须反过来提供向心力,这确保拉格朗日点 2 处的物体具有与地球相同的轨道周期:G m M z o n ( d + x ) 2 + G mM a r d e x 2 m v 2 d + xv 2 π ( d + x ) T ⇔ G M z on ( d + x ) 2 + G M a r d e x2 (2 π (d + x) T) 2d + x {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {GmM_{zon}}{(d+x)^{2}}}+{\frac {GmM_{aarde}}{x^{2}} }&{\frac {mv^{2}}{d+x}}\\\\v&{\frac {2\pi (d+x)}{T}}\\\\\Leftrightarrow {\frac { GM_{zon}}{(d+x)^{2}}}+{\frac {GM_{aarde}}{x^{2}}}&{\frac {({\frac {2\pi (d +x)}{T}})^{2}}{d+x}}\end{aligned}}} 我们mogen de binomiale ontwikkeling weer toepassen。G M z o n d 2 ( 1 + x d) − 2 + G M a r d e x 2 4π 2 d T 2 (1 + x d) (1 +x d ) − 2 ≈ 1 − ( 2 x d ) 1 − 2 x d⇔ G M z on d 2 ( 1 − 2 xd ) + G M a r d e x 2 4π 2 d T 2 ( 1 + x d ) ⇔ GM z o n d 2 ( 1 − 2 x d ) + GM a r d x 2 4 π 2 d (4 π 2 d 3 G M z on ) 2 ( 1 + x d ) ⇔ G Mz o n d 2 ( 1 − 2 x d ) + G Ma r d x 2 G M z o n d 2( 1 + x d ) ⇔ G M z o n d2 ( 1 − 2 x d ) − G M z o n d2 ( 1 + x d ) + G M a r d e x2 0 ⇔ G M z on d 2 ( -3 x d ) + G M a r d e x 20 ⇔ G M z on d 2 ( 3 d )G M a r d e x 3 ⇔ 3 Mz o n M a r d d 3 1 x3 ⇔ M a r d e d 3 3 M zn x 3 ⇔ x ( M a r d e3 M zon ) 1 / 3 d {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {GM_{zon}}{d^{2}}}\left(1+{\frac {x}{d}}\右)^{-2}+{\frac {GM_{aarde}}{x^{2}}}&{\frac {4\pi ^{2}d}{T^{2}}}\left(1+{\frac {x}{d}}\right)\\\\\left(1+{\压裂 {x}{d}}\right)^{-2}\approx 1-\left({\frac {2x}{d}}\right)1-{\frac {2x}{d}}\\ \\\Leftrightarrow {\frac {GM_{zon}}{d^{2}}}\left(1-{\frac {2x}{d}}\right)+{\frac {GM_{aarde}}{ x^{2}}}&{\frac {4\pi ^{2}d}{T^{2}}}\left(1+{\frac {x}{d}}\right)\\\ \\Leftrightarrow {\frac {GM_{zon}}{d^{2}}}\left(1-{\frac {2x}{d}}\right)+{\frac {GM_{aarde}}{x ^{2}}}&{\frac {4\pi ^{2}d}{\left({\sqrt {\frac {4\pi ^{2}d^{3}}{GM_{zon}} }}\right)^{2}}}(1+{\frac {x}{d}})\\\\\Leftrightarrow {\frac {GM_{zon}}{d^{2}}}\left (1-{\frac {2x}{d}}\right)+{\frac {GM_{aarde}}{x^{2}}}&{\frac {GM_{zon}}{d^{2} }}\left(1+{\frac {x}{d}}\right)\\\\\Leftrightarrow {\frac {GM_{zon}}{d^{2}}}\left(1-{\压裂 {2x}{d}}\right)-{\frac {GM_{zon}}{d^{2}}}\left(1+{\frac {x}{d}}\right)+{\压裂{GM_{aarde}}{x^{2}}}&0\\\\\Leftrightarrow {\frac {GM_{sun}}{d^{2}}}\left(-{\frac {3x}{d}}\right)+{\frac {GM_{地球} {x^{2}}}&0\\\\\Leftrightarrow {\frac {GM_{sun}}{d^{2}}}\left({\frac {3}{d}}\right)& {\frac {GM_{地球}}{x^{3}}}\\\\\Leftrightarrow {\frac {3M_{Sun}}{M_{Earth}d^{3}}}&{\frac {1 {x^{3}}}\\\\\Leftrightarrow {\frac {M_{earth}d^{3}}{3M_{sun}}}&x^{3}\\\\Leftrightarrow x&\left ({\frac {M_{earth}}{3M_{sun}}}\right)^{1/3}d\end{aligned}}} 填充地球质量后:5.972•1024 kg,质量从太阳:1,989•1030 kg 地球到太阳的距离:149,600,000 公里 我们得到拉格朗日点 2 到地球的距离为 150 万公里。两个拉格朗日点距离地球的距离相等。0\\\\\Leftrightarrow {\frac {GM_{sun}}{d^{2}}}\left({\frac {3}{d}}\right)&{\frac {GM_{earth}} {x^{3}}}\\\\\Leftrightarrow {\frac {3M_{sun}}{M_{earth}d^{3}}}&{\frac {1}{x^{3}}} \\\\\Leftrightarrow {\frac {M_{earth}d^{3}}{3M_{sun}}}&x^{3}\\\\Leftrightarrow x&\left({\frac {M_{earth} } {3M_{sun}}}\right)^{1/3}d\end{aligned}}} 填入地球质量后:5.972•1024 kg,太阳质量:1.989•1030 kg 和距离地球-太阳:149,600,000 公里 我们得到的拉格朗日点 2 距离地球 150 万公里。两个拉格朗日点距离地球的距离相等。0\\\\\Leftrightarrow {\frac {GM_{sun}}{d^{2}}}\left({\frac {3}{d}}\right)&{\frac {GM_{earth}} {x^{3}}}\\\\\Leftrightarrow {\frac {3M_{sun}}{M_{earth}d^{3}}}&{\frac {1}{x^{3}}} \\\\\Leftrightarrow {\frac {M_{earth}d^{3}}{3M_{sun}}}&x^{3}\\\\Leftrightarrow x&\left({\frac {M_{earth} } {3M_{sun}}}\right)^{1/3}d\end{aligned}}} 填入地球质量后:5.972•1024 kg,太阳质量:1.989•1030 kg 和距离地球-太阳:149,600,000 公里 我们得到的拉格朗日点 2 距离地球 150 万公里。两个拉格朗日点距离地球的距离相等。\left({\frac {M_{earth}}{3M_{sun}}}\right)^{1/3}d\end{aligned}}} 进入地球质量后:5.972•1024 kg ,质量太阳的质量:1,989•1030 kg 地球-太阳的距离:149,600,000 公里 我们得到拉格朗日点 2 离地球的距离为 150 万公里。两个拉格朗日点离地球的距离相等。\left({\frac {M_{earth}}{3M_{sun}}}\right)^{1/3}d\end{aligned}}} 进入地球质量后:5.972•1024 kg ,质量太阳的质量:1,989•1030 kg 地球-太阳的距离:149,600,000 公里 我们得到拉格朗日点 2 离地球的距离为 150 万公里。两个拉格朗日点离地球的距离相等。

其他天体对上的拉格朗日点

太阳和木星

在木星的 L4 和 L5 点上,天然存在着被称为特洛伊木马的小行星群。2003 年 3 月,已经有 1,560 个已知。

太阳和海王星

2001 年还在海王星的轨道上发现了一颗类似的小行星:一颗直径约 230 公里的巨石。

太阳和火星

火星也拥有6个木马。

地球和月球

L1 和 L2 距离月球大约 60,000 公里。

稳定

L1、L2 和 L3 的稳定性

前三个拉格朗日点仅在垂直于天体连接线的位移处稳定。通过查看 L1 点最容易看出这一点。垂直于连接两个质量的线位移的测试质量会感受到朝向平衡点的拉力。这是因为两个质量的引力的侧向分量指向平衡点。当它沿着连接两个天体的线移动时,测试质量向其中一个天体移动,并且该天体的重力增加而另一个天体减小。测试质量会越来越偏离。然而,可以使用 L1、L2 和 L3,因为只需要很少的燃料来补偿小的偏差。

L4 和 L5 的稳定性

如果质量比 > 24.96,拉格朗日点 L4 和 L5 是稳定的。这包括太阳与任何行星,地球与月亮。结果,物体可以在这里停留长达 10 亿年,除了地球和月球:来自行星的干扰限制了稳定性,但物体仍然可以在这里停留数百万年。

外部链接

(和)托尼·邓恩的拉格朗日点计算器。