斐波那契数列

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October 23, 2021

斐波那契数列(读作 fibonaccsi)是数学中最著名的二阶递归级数之一的元素。零元素为0,第一个元素为1,附加元素为前两者之和。式中: F n {0 if n 0; 1、汉 1; F n - 1 + F n - 2,ha n ≥ 2. {\ displaystyle F_ {n} {\ begin {cases} 0, & {\ mbox {ha}} n0; \\ 1, & {\ mbox {ha}} n1; \\ F_ {n- 1} + F_ {n-2}, & {\ mbox {ha}} n \ geq 2. \ end {cases}}} 斐波那契数列构成一个无限升序;其中的前几个元素,从零开始,是 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34。几个大的斐波那契数列可以从互联网上免费下载。{\ mbox {ha}} n \ geq 2. \ end {cases}}} 斐波那契数列构成一个无限升序;其中的前几个元素,从零开始,是 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34。几个大的斐波那契数列可以从互联网上免费下载。{\ mbox {ha}} n \ geq 2. \ end {cases}}} 斐波那契数列构成一个无限升序;其中的前几个元素,从零开始,是 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34。几个大的斐波那契数列可以从互联网上免费下载。

起源

1150 年,两位印度数学家 Gopala 和 Hemacsandra 首次描述了该系列,他们在研究梵文诗歌的理论问题时,遇到了分解成一个和的问题(如果一个长音节对应可以填多少个短音节)两个短的)?。在西方,斐波那契于1202年独立发现,他在Liber Abaci(算盘书)中放弃了想象兔子家庭的成长作为一种实践:如果我们假设有多少对兔子在n个月内第一个月只有一对刚出生的兔子;新生兔对在两个月内可生育;每对能生育的兔子每个月都会生下一对;兔子会永远活着吗?”开普勒在 1611 年的著作《六边形雪花》中重新发现,并与各种自然现象有关。今天使用的名字来自 E. Lucas。

比奈公式

相邻的斐波那契数列 (F n + 1 / F n {\ displaystyle F_ {n + 1} / F_ {n} \,}) 与 ϕ {\ displaystyle \ phi \,} 的比值是黄金比率:即 x 2 x + 1 {\ displaystyle x ^ {2} x + 1 \,},并且这个二次方程正好有 ϕ {\ displaystyle \ phi \,} 和 1 - ϕ {\ displaystyle 1- \ phi \ ,} 一个解决方案。(其实还可以说:分数 F n + 1 / F n {\ displaystyle F_ {n + 1} / F_ {n} \,} 只是破 ϕ {\ displaystyle \ φ\,}。) 等式两边同时乘以 xn {\ displaystyle x ^ {n}} axn + 2 xn + 1 + xn {\ displaystyle x ^ {n + 2} x ^ {n + 1} + x ^ {n} \ ,} 我们得到平等。这意味着,级数 an ↦ ϕ n {\ displaystyle n \ mapsto \ phi ^ {n}} 和 an ↦ (1 - ϕ) n {\ displaystyle n \ mapsto (1- \ phi) ^ {n}}(以及它们的所有线性组合)满足斐波那契递归。通过正确选择系数,我们可以得到 F 0 0 {\ displaystyle F_ {0} 0 \,} 和 F 1 1 {\ displaystyle F_ {1} 1 \,} 的正确值:F n ϕ n 5 - (1 - ϕ) n 5 {\ displaystyle F_ {n} {\ phi ^ {n} \ over {\ sqrt {5}}} - {(1- \ phi) ^ {n} \在 {\ sqrt {5}}}} 上得到的 F n(1 + 5) n - (1 - 5) n 5 ⋅ 2 n {\ displaystyle F_ {n} {(1 + {\ sqrt {5}}) ^ {n} - (1 - {\ sqrt {5} }) ^ {n} \ over {\ sqrt {5}} \ cdot 2 ^ {n}}}斐波那契数列的封闭形式,称为比奈公式。通过生成函数的方法得到相同的公式。如果 n 趋于无穷大,则第二项收敛于零,即斐波那契数列 ϕ n / 5 {\ displaystyle \ phi ^ {n} / {\ sqrt {5}}},因此收敛于他们的比例。更重要的是,第二项从一开始就很小,我们可以通过只计算第一项并将其四舍五入到最接近的整数来获得斐波那契数列。斐波那契数列可以用一个二维线性递归系统来描述:( F k + 2 F k + 1 ) ( 1 1 1 0 )( F k + 1 F k ) {\displaystyle {F_{k+2} \choose F_{k+1}}{\begin{pmatrix}1&1\\1&0 \ end {pmatrix}} {F_ {k + 1} \ 选择 F_ {k}}} 或 F → k + 1 AF → k {\ displaystyle {\ vec {F}} _ {k + 1} A {\ vec {F}} _ {k}} Az A 矩阵 sajátértékei ϕ {\ displaystyle \ phi \,} és (1 - ϕ) {\ displaystyle (1- \ phi) \,},特征向量是 (ϕ 1) {\ displaystyle {\ phi \ choose 1}} 和 (1 - ϕ) {\ displaystyle {1 \ choose - \ phi}}。

概括

术语斐波那契数列适用于所有可以由递归公式 gn + 2 gn + gn + 1 {\ displaystyle g_ {n + 2} g_ {n} + g_ {n + 1 }}。很明显所有这些序列都可以改写为 gna F n + b F n + 1 {\ displaystyle g_ {n} aF_ {n} + bF_ {n + 1}},换句话说,斐波那契数列构成了 F n { 的向量空间\ displaystyle 以系列 F_ {n}} 和 F n + 1 {\ displaystyle F_ {n + 1}} 为基础。斐波那契数列的进一步推广是卢卡斯数列。另一种概括是斐波那契多项式。

卢卡斯数

L 0 2 {\ displaystyle L_ {0} 2}, L 1 1 {\ displaystyle L_ {1} 1}, L n + 2 L n + L n + 1 {\ displaystyle L_ {n + 2} L_ {n } + L_ {n + 1}} 斐波那契数列的元素称为卢卡斯数。它们由欧拉于 1748 年在 Analysin Infinitorum 的 Introductio 中首次描述。在他的工作中。他们的意义,将黄金比例提高到 n 次方将导致 L n + F n 5 2 {\ displaystyle {\ frac {L_ {n} + F_ {n} {\ sqrt {5}}} {2}}}。斐波那契数和卢卡斯数之间的一些相关性:L n F n − 1 + F n + 1 {\displaystyle L_{n}F_{n-1}+F_{n+1}\ } F n 1 5 ( L n − 1 + L n + 1) {\displaystyle F_{n}{\begin{matrix}{\frac {1}{5}}\end{matrix}}(L_{n-1}+L_{n+1})} . F n + 1 1 2 ( F n + L n ) {\displaystyle F_{n+1}{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(F_{n}+ L_{n})} 。F 2 n F n L n {\displaystyle F_{2n}F_{n}L_{n}\ } F m + n 1 2 ( F m L n + F nL m ) {\displaystyle F_{m+n}{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(F_{m}L_{n}+F_{n}L_{米})}。F m − n 1 2 ( − 1 ) n ( F m L n − F n L m ) {\displaystyle F_{mn}{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix} }(-1)^{n}(F_{m}L_{n}-F_{n}L_{m})} .

Polibonacci 数

Tribonacci 数的计算方法与 Fibonacci 数类似,但我们添加了三个前面的元素而不是两个。(前几项是 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149…) OEIS 编号是 A000073。Tetranacci、pentanacci 等也有类似的定义。数字,但研究人员并不觉得它们特别有趣。

扩展到负数

如果用于生成数字的公式用于生成系列的先前索引,我们将得到负的斐波那契数,即“negafibonacci”系列。F - n (- 1) n + 1 F n。{\ displaystyle F _ {- n} (- 1) ^ {n + 1} F_ {n}.}

扩展到实数

从比奈公式开始,斐波那契数可以从序列扩展为实函数:F ν 1 5 ((1 + 5 2) ν - (2 1 +5) ν cos ⁡ (ν π)) {\ displaystyle F _ {\ nu} {\ frac {1} {\ sqrt {5}}} \ left (\ left ({\ frac {1 + {\ sqrt {5 } }} {2}} \ right) ^ {\ nu} - \ left ({\ frac {2} {1 + {\ sqrt {5}}}} \ right) ^ {\ nu} \ cos (\ nu \ pi) \ 右)}cos ⁡ (ν π)) {\ displaystyle F _ {\ nu} {\ frac {1} {\ sqrt {5}}} \ left (\ left ({\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} { 2}} \ right) ^ {\ nu} - \ left ({\ frac {2} {1 + {\ sqrt {5}}}} \ right) ^ {\ nu} \ cos (\ nu \ pi) \对)}cos ⁡ (ν π)) {\ displaystyle F _ {\ nu} {\ frac {1} {\ sqrt {5}}} \ left (\ left ({\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} { 2}} \ right) ^ {\ nu} - \ left ({\ frac {2} {1 + {\ sqrt {5}}}} \ right) ^ {\ nu} \ cos (\ nu \ pi) \对)}

特性

唯一的斐波那契数,也是平方数(0 和 1 除外)是 144。1982 年,Attila Pethő 证明只有有限数量的斐波那契数是全幂。最近,Y. Bugeaud、M. Mignotte 和 S. Siksek 证明只有 8 和 144 是全幂。F 10 n {\ displaystyle F_ {10 ^ {n}}} 数字正好是 1 arcsh 2 log ⁡ 10 {\ displaystyle {\ frac {1} {{\ rm {arcsh}} \, 2 \ log 10}}}十进制形式的前 n 位数字。F n {\ displaystyle F_ {n}} 的位数正好是 n ∗ lg (ϕ) - lg (5) / 2 + 1 {\ displaystyle n * lg (\ phi) -lg (5 ) / 2 + 1}, 如果 n> 1 {\ displaystyle n> 1} 和 ϕ 1, 618 ... {\ displaystyle \ phi 1,618 ...} 黄金比例的值 - 因为斐波那契数列 ϕ n / 5 {\ displaystyle \ phi ^ {n} / {\ sqrt {5}}}。

身份

∑ i 0 n F i F n + 2 − 1 {\displaystyle \sum _{i0}^{n}F_{i}F_{n+2}-1} ∑ i 0 ni F in F n + 2 − F n + 3 + 2{\displaystyle \sum _{i0}^{n}iF_{i}nF_{n+2}-F_{n+3}+2} ∑ i 0 n F i 2 F n F n + 1 {\displaystyle \总和 _{i0}^{n}F_{i}^{2}F_{n}F_{n+1}} F 2 n F n + 1 2 − F n− 1 2 {\displaystyle F_{2n}F_{n+1}^{2}-F_{n-1}^{2}} F 2 n + 1 F n 2 + F n + 1 2 {\displaystyle F_ {2n+1}F_{n}^{2}+F_{n+1}^{2}} F n + 1 F n − 1 − F n2 (- 1) n {\ displaystyle F_ {n + 1} F_ {n-1} -F_ {n} ^ {2} (- 1) ^ {n}} (卡西尼恒等式,前面矩阵的两侧可以通过取其行列式来获得同一性。)更一般的形式:F n 2 − F n + r F n − r ( − 1 ) n − r F r 2 {\displaystyle F_{n}^{2}-F_{n+r}F_{nr}(-1)^{ nr}F_{r}^{2}}(加泰罗尼亚语-azonosság)。F m F n + 1 − F m + 1 F n ( − 1 ) n F n − m {\displaystyle F_{m}F_{n+1}-F_{m+1}F_{n}(-1) ^{n}F_{nm}\,} (d'Ocagne 恒等式) F m F n + 1 + F m - 1 F n F n + m {\ displaystyle F_ {m} F_ {n + 1} + F_ {m-1} F_ {n} F_ {n + m } \,},由此得出 F k | F n k {\ displaystyle F_ {k} | F_ {nk} \,}。不仅如此:对于任何 k k (F - m) ∧ k | F n ⇔ k | F (m, n) {\ displaystyle k | (Fm) \ wedge k | F_ {n} \ Leftrightarrow k | F _ {(m, n)} \,}, and (F m, F n) F (m ,n) {\ displaystyle (F_ {m}, F_ {n}) F _ {(m, n)} \,}。主对角线上的 n × n 矩阵的行列式为 1,主对角线上和下方的字段中的行列式仅为 F n + 1 {\ displaystyle F_ {n + 1}}。与切比雪夫多项式的关系:F nin − 1 U n − 1 ( − 1 2 − i ) {\displaystyle F_{n}i^{n-1}U_{n-1}(-{\begin{matrix}{\frac {1}{ 2}}\end{矩阵}}-i)}{1}{2}}\end{矩阵}}-i)}{1}{2}}\end{矩阵}}-i)}

发电机功能

斐波那契数列的生成函数,幂级数 s (x) ∑ n 1 ∞ F n x n {\ displaystyle s (x) \ sum _ {n1} ^ {\ infty} F_ {n} x ^ {n}} | × |对于 <1 / ϕ {\ displaystyle | x | <1 / \ phi \,} 以下可以写成封闭形式:s (x) x 1 - x - x 2 {\ displaystyle s (x) {\ frac {x} {1-xx ^ {2}}}} 其中 x 1 10 {\ displaystyle x {\ frac {1 } 发生在 {10}}} 旁边,hogy ∑ n 1 ∞ F n 10 n + 1 1 89 {\displaystyle \sum _{n1}^{\infty }{\frac {F_{n}}{10^{n+1}}}{\frac { 1}{89}}}。

倒数总和

由斐波那契数的倒数之和形成的线是收敛的: ∑ n 1 ∞ F n - 1 3, 359885… {\ displaystyle \ sum _ {n1} ^ {\ infty} F_ {n} ^ {- 1} 3,359885 \ dots } (OEIS: A079586) Paul Erdős 提出了这个数字是否为无理数的问题,而 R. André-Jeannin 在 1989 年证明了这一点。我们不知道它的封闭公式。

雷普菲特克

Repfigits(类似斐波那契的重复数字)或 Keith 数字是其数字通过形成线性递归数字序列而形成数字本身的数字。两位数代表(对于这些 lin. 注册系列 Fibonacci 系列):14、19、28、47、61、75。(OEIS:A007629)

斐波那契数列的计算

使用递归过程调用

递归实现是最简单的,但不直接适合计算大的斐波那契数,因为经常要计算以前的斐波那契数,这使得运行时呈指数级,例如在下面的 Perl 或 Java 实现中:使用的语言“记住”已经计算的值——例如,对于某些函数式语言就是这种情况。)

在一个周期

线性运行时间可以通过使用两个变量来实现,这些变量最初获得 0 和 1 的值,然后在每个步骤中用第二个覆盖第一个,用两者的总和覆盖第二个。以下 Perl 和 Java 实现说明了这一点:

快速取幂

对于一个大的 n {\ displaystyle n} 我们可以通过乘以下面的快速求幂公式得到 O (log ⁡ n) {\ displaystyle {\ mathcal {O}} (\ log n)}:[ 1 1 1 0 ] n [ F n + 1 Fn F n F n - 1] {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix}} ^ {n} {\ begin {bmatrix} F_ {n + 1} & F_ { n} \\ F_ {n} & F_ {n-1} \ end {bmatrix}}} 在 C++ 中的实现:

比奈公式

使用 Binet 公式会产生一个恒定的运行时间解决方案,但它并不实用,因为浮点数表示通常不够准确,并且可能由于累积舍入误差而导致错误结果。

应用

斐波那契数在分析欧几里得算法的运行时非常重要:当必须计算两个相邻斐波那契数的最大公约数时,该算法最慢。 Matthiasevich 证明了斐波那契数列是一组丢番图,由此他回答了希尔伯特的第十个问题。沿某些对角线对帕斯卡三角形中的数字求和得到斐波那契数。长度为 n 的部分可以通过 F n + 1 {\ displaystyle F_ {n + 1}} 的方式从部分 1 和 2 卸载。一个 2 × n 的棋盘可以用 F n + 1 {\ displaystyle F_ {n + 1}} 种方式(迪考)覆盖 2 × 1 多米诺骨牌。从数字 1, 2,... n 中,可以通过 F n + 2 {\ displaystyle F_ {n + 2}} 方式选择一个子集,以便不包括相邻的数字(将 1 和 nt 视为不相邻)。没有两个连续0的位序列个数,F n + 2 {\ displaystyle F_ {n + 2}};在 n 次连续投掷中,我们不会连续两次正面朝上的机会,F n + 2/2 n {\ displaystyle F_ {n + 2} / 2 ^ {n}}。在音乐中,它有时用于调音,有时用于确定持续时间的比例。这方面的一个例子是贝拉·巴托克 (Béla Bartók) 的弦乐器、打击乐器和大键琴音乐。每个正整数都可以写成不同斐波那契数的和;如果不能有两个连续的斐波那契数列,则题词很清楚。这个 Zeckendorf 定理和铭文本身被称为 Zeckendorf 表示法或斐波那契数系统。里程公里比(1,609)接近黄金比例,因此,两者之间的切换可以通过斐波那契数系中的按位移位操作来近似。

斐波那契螺旋线

斐波那契螺旋线是一个对数螺旋线,每四分之一圈增长到 ϕ {\ displaystyle \ phi \,} 倍(即 a c ϕ 2 / π {\ displaystyle c \, \ phi ^ {2 / \ pi} \ , }方程螺旋)。使用黄金矩形可以很容易地近似它。通过在斐波那契螺线上以相等距离放置点,它们聚集在一起成为“螺旋臂”,这些臂的数量将是一个斐波那契数。沿着斐波那契螺旋放置的球体提供了一种最佳排列,即使放置在大量球体中时,它们也是均匀分布的。

自然界中的斐波那契数列

花瓣的数量通常是斐波那契数:例如百合花三个,雌性花瓣,三瓣;钟楼、毛茛、飞燕草和野玫瑰各五个;喜鹊、罂粟和蝴蝶,八只;雅各布的木耳、烟灰缸和万寿菊 13;紫菀、獾球果和菊苣 21;雏菊叶雏菊、路叶雏菊和一些雏菊 34;和其他雏菊种类有 55 或 89 个花瓣。例如,松果和菠萝的鳞片、葵花籽、覆盆子粒、花椰菜玫瑰和一些仙人掌的刺都排列成斐波那契螺旋。鹦鹉螺的房子也类似于斐波那契螺旋线,但增长 ϕ {\ displaystyle \ phi \,} 乘以半径而不是四分之一而是一个完整的圆。在植物的茎上,连续叶的轮作(叶序)大多(根据一些估计为 90%) F n / F n + 2 {\ displaystyle F_ {n} / F_ {n + 2}} 完成(例如接骨木和菩提树)1/2 用于山毛榉、榛子和黑莓,2/5 用于橡木、苹果、樱桃和樱桃,3/8 用于杨树、玫瑰和桃子,5/13 用于柳树和杏仁)。这些比率正好是 ϕ - 2 {\ displaystyle \ phi ^ {- 2} \,} 断链时获得的近似分数(ϕ {\ displaystyle \ phi \,} 是黄金比例)。根据 Przemyslaw Prusinkiewicz 的说法,其中一些现象可以解释为自由群的某些代数约束的表达,更具体地说是某些 Lindenmayer 语法。在分形几何中,研究 Fuchs 群和 Klein 群时会遇到斐氏数。一个子宫的 n 代祖先的数量是第 n 个斐波那契数。在分形几何中,研究 Fuchs 群和 Klein 群时会遇到斐氏数。一个子宫的 n 代祖先的数量是第 n 个斐波那契数。在分形几何中,研究 Fuchs 群和 Klein 群时会遇到斐氏数。一个子宫的 n 代祖先的数量是第 n 个斐波那契数。

文献中的斐波那契数列

斐波那契数列在丹·布朗的畅销书《达芬奇密码》和达伦·阿罗诺夫斯基的电影《π》中扮演着重要角色。Péter Esterházy:海顿头骨的三十三个版本。(播放,2009)

斐波那契数列在巴托克音乐中的作用

在他分析匈牙利音乐历史学家 Ernő Lendvai, Béla Bartók 的音乐的书中,Bartók 使用斐波那契数列部分展示了他音乐中个人音乐思想的序列。巴托克本能地将 Ernő Lendvai 发现的斐波那契结构理论联系应用到他音乐的正式比例系统中。

笔记

相关文章

黄金分割叶 弦乐器、打击乐和咏叹调的音乐 斐波那契堆 János Saxon-Szász OEIS Zeckendorf 定理的多维场

来源

DE Knuth:计算机编程艺术 I. László Gerőcs:斐波那契系列及其概括,教科书出版商,布达佩斯,1988 年。Judit Török:斐波纳契系列,教科书出版商,布达佩斯,1984 年。Szaniszló Bérczi:通过 Cell Automata Planta . 学校文化。弧。第 7 号。16-32。她。(HU ISSN 1215-5233) 1994. Ernő Lendvai:巴托克的戏剧学。音乐出版商,布达佩斯,1964 年。 Lovász - Pelikán - Vesztergombi:离散数学。74-84。老的。Typotex 出版社,2006 年。ISBN 963-9664-02-2 Hrant Arakelian。黄金分割的数学和历史,Logos 2014,404 页。ISBN 978-5-98704-663-0(俄语)

更多信息

(英文)Pravin Chandra 和 Eric W. Weisstein 的“斐波那契数”。来自 MathWorld — Wolfram 网络资源。[1] Fibonacci Numbers and the Golden Section The Fibonacci Quarterly - 处理斐波那契数的科学期刊 GoldenNumber.net 和谐博物馆和黄金分割 Fibonacci Flim-Flam - Fibonacci Spirals - 基于斐波那契螺旋线的图像 黄金分割和物理学Aesthetics Hemachandra's Application to Sanskrit Poetry (pdf) (English) A000045, OEIS