0,999…

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December 1, 2021

在数学上,0.999…是一个无穷大的间歇小数,也就是 0, 9¯, {\ displaystyle 0 {,} {\ bar {9}},} 0, 9 ˙ {\ displaystyle 0 {,} {\ dot {9} }} 或 0, (9) {\ displaystyle \ 0 {,} (9)}。有趣的是,它等于 1,因为数字 1 有两个十进制小数的产生式,1,000... 和 0.999... 换句话说,符号“0.999...”表示相同的数字,作为“1”符号。 1 0.999... 等式本身(或此类等式)有各种各样的证据,其严格程度各不相同,具体取决于它是为高中生还是毕业生设计的。近几十年来,数学教育工作者对学生对 1 0.999 … 类型方程的接受度进行了调查。根据调查,许多学生从根本上质疑或拒绝平等的存在,许多学生通过教科书、教师和算术论证相信所讨论的平等是正确的。然而,他们往往坚持声称的真实性需要进一步核实。学生的推理(即使在反驳陈述时,即使经过验证)通常围绕一些关于实数的直观想法进行分组。例如,每个数字都有一个小数形式。另一个想法是 1 从 0.999 开始无限小......,其中的差异是无穷小的单位。

定义

0.999…是0的数;0.9; 0.99; 0.999,…系列限制。在这个系列的第n个元素中,小数点后有n-1个9。因此,0.999…1 等价于这个系列到 1 的陈述。存在限制是因为该系列是单调递增的(第 n + 1 项比第 n 项大 9 × 10-n)并且从上方有界(1 是一个很好的上限)。

语句是 0.999…1

0.999…无穷小数,以及该语句的一些非常简单的证明,利用了十进制数系统的算术特性。比较的基本性质是,除了后面写的零之外,具有不同数字的两个有限十进制小数表示不同的数字。 1 是一个带符号的数字,因为只有他才有两位小数。每个可以用有限十进制形式书写的数字都可以用两种方式输入。例如: 6 5 1,200 0⋯ 1,199 9… {\ displaystyle {\ frac {6} {5}} 1 {,} 2000 \ dots 1 {,} 1999 \ dots \,} 此外,将实数写成一条无限长的线,例如术语 0.999... 本身,在十以外的数字系统中也不一定清楚。在每个数系统中,在给定的数系统中都有可以用多种方式写出的实数,更重要的是,即使在基于分数和无理数的数系统中也是如此。作为该现象的应用,我们可以提到对康托集的研究。具体来说,如果 0.99…9 形式的任何数字包含有限个 9,则它小于 1。

怀疑者和他们的论点

即使是数学专业的学生也经常怀疑 0.999 和 1 是否相等。原因包括他们顽固地厌恶极限值的精确概念,以及他们从传统观点对无穷小量的性质的不同思考。几个共同因素加剧了这种混乱:他们看到每个实数都有不同的小数形式。对他们来说,一个数字有两个完全不同的小数的现象似乎是自相矛盾的,他们的困惑只会因为它恰好是 1 的事实而加剧,他们认为这在自然界中已经众所周知。有些人将“0.999……”这个形式解释为由许多但有限数量的 9 组成,其数量可能是可变的或无限大。如果他们仍然接受无限数量的 9,然后他们想象在无穷大某处的最后 9 个。教育中对极限值概念的直观或模糊的介绍和假设,可能会导致学生将极限值视为一种无限程序而不是指向特定值,强调级数不一定达到极限的现象。价值。当学生清楚一个数列和它的极限之间的区别时,为了直观的讨论,对他们来说,符号“0.999……”与其说是一个极限,不如说是一个数列。有些人将 0.999... 作为一个固定值,它比 1 小得多。其他人认为收敛线的总和充其量只是一个近似值,即 0.999…≈1。所有这些方法都是传统实数解释中错误思维过程的基础,但其中一些方法可能适用于其他数圈,例如非标准实数理论。它们也可能是有用的,无论是在一般的数学意义上还是作为一个有指导意义的反例,这可能会导致更好地理解 0.999……。他们中的大多数人也是大卫·塔尔在他的学生中学习学习和思考时遇到的。他发现学生们首先拒绝了这种相等的想法,因为他们将数字 0.999……看作是一个越来越接近 1 的级数,而不是一个固定值。还提出了以下意见:数字0.999……是最大的无穷小数,小于1。您无法指定您有多少个小数位。他们中的大多数可以用基本证据说服,但也有一些人继续怀疑和沮丧。能够应用精确定义的学生在看到令人惊讶的结果时会自动重新接触直观的图像,因此他们也不一定总是理解不太基本的证明。例如,一个学实分析的学生,用supreme可以看出1⁄3 0.333…,但还是抗拒0.999…1的等式,靠的是他长除法的经验。其他人,也可以证明 1⁄3 到 0.333……,仍然觉得用分数证明不够,说逻辑在数学中比计算更重要。约瑟夫·马祖尔(Joseph Mazur)回忆说,他有一个非常优秀的学生,几乎怀疑他的导师所说的一切,但他始终相信他的计算器。他认为 9 位小数对于数学来说已经足够了,甚至可以计算他的 23 个平方根。他无法理解 9.99…10 的极限证明,称之为“疯狂想象的无限上升级数。”根据 Ed Dubinsky 和 ​​Tsai 的理论,那些认为 0.999…小于 1 的无穷小,他们不理解导致无穷小数的无穷直线。还有一些人无法区分线和线和的概念。对他们来说,0.999…表示一条线(即一个计算过程,而不是一个线和,即一个数字),而1是一个数字,即质量不同,所以它们不能相等。计算它的 23 个平方根。他无法理解 9.99…10 的极限证明,称之为“疯狂想象的无限上升级数。”根据 Ed Dubinsky 和 ​​Tsai 的理论,那些认为 0.999…小于 1 的无穷小,他们不理解导致无穷小数的无穷直线。还有一些人无法区分线和线和的概念。对他们来说,0.999…表示一条线(即一个计算过程,而不是一个线和,即一个数字),而1是一个数字,即质量不同,所以它们不能相等。计算它的 23 个平方根。他无法理解 9.99…10 的极限证明,称之为“疯狂想象的无限上升级数。”根据 Ed Dubinsky 和 ​​Tsai 的理论,那些认为 0.999…小于 1 的无穷小,他们不理解导致无穷小数的无穷直线。还有一些人无法区分线和线和的概念。对他们来说,0.999…表示一条线(即一个计算过程,而不是一个线和,即一个数字),而1是一个数字,即质量不同,所以它们不能相等。但他们被认为是无限长的,无穷小量小于 1,他们不理解导致无限小数的无限线。还有一些人无法区分线和线和的概念。对他们来说,0.999…表示一条线(即一个计算过程,而不是一个线和,即一个数字),而1是一个数字,即质量不同,所以它们不能相等。但他们被认为是无限长的,无穷小量小于 1,他们不理解导致无限小数的无限线。还有一些人无法区分线和线和的概念。对他们来说,0.999…表示一条线(即一个计算过程,而不是一个线和,即一个数字),而1是一个数字,即质量不同,所以它们不能相等。

证明

简单证明

如果 1/3 0.333... {\ displaystyle 1/30 {,} 333 \ dots} 并且如果 2/3 0.666... {\ displaystyle 2/30 {,} 666 \ dots},那么 3/3 0.999... {\ displaystyle 3 / 30 {,} 999 \ 点}。由于 3/3 1 {\ displaystyle 3/31},那么 0.999 ⋯ 1 {\ displaystyle 0 {,} 999 \ dots 1}

代数证明

分数证明

分数可以写成有限或无限的间歇小数。因此,例如,1⁄3 将等于 0.333… 无限的间歇小数,其中数字 3 无限次重复。将此等式乘以 3 得出 0.999…1 的等式。每个3位乘以3,所以变成9,所以3×0.333…0.999…(不传输),3×1⁄3 1,所以0,999…1{\displaystyle0.999\dots1}。另一个版本证明的 1/9 0.111… 乘以 9。同一个证明的简化版本是 9/9 1 和 9/9 0.999... 因为 1/9 0.111... 由于等式的传递性 1 0.999... 这个推理隐含地假设无限小数应该以与有限小数相同的方式相乘那些:在这里,例如,我们不加证明地接受 9 × 0, 1 0, 9 9 × 0, 11 0, 99 9 × 0, 111 0,999 9 × 0, 1111 0, 9999 {\ displaystyle {\ begin {aligned} 9 \ times 0.1 & 0.9 \\ 9 \ times 0.11 & 0.99 \\ 9 \ times 0.111 & 0.999 \\ 9 \ times 从恒等式推导出来输入 0.1111 & 0.9999 \\\ end {aligned}}} 即 9 × 0, 111 ⋯ 0, 999… {\ displaystyle 9 \ times 0.111 \ dots 0.999 \ dots}1111 0, 9999 {\ displaystyle {\ begin {aligned} 9 \ times 0.1 & 0.9 \\ 9 \ times 0.11 & 0.99 \\ 9 \ times 0.111 & 0.999 \\ 9 \ times 0.1111 & 0.9999 的类型如下\\ end {aligned}}} 即 9 × 0, 111 ⋯ 0, 999… {\ displaystyle 9 \ times 0.111 \ dots 0.999 \ dots}1111 0, 9999 {\ displaystyle {\ begin {aligned} 9 \ times 0.1 & 0.9 \\ 9 \ times 0.11 & 0.99 \\ 9 \ times 0.111 & 0.999 \\ 9 \ times 0.1111 & 0.9999 的类型如下\\ end {aligned}}} 即 9 × 0, 111 ⋯ 0, 999… {\ displaystyle 9 \ times 0.111 \ dots 0.999 \ dots}从类型 11 & 0.99 \\ 9 \ times 0.111 & 0.999 \\ 9 \ times 0.1111 & 0.9999 \\\ end {aligned}}} 得出 9 × 0, 111 ⋯ 0, 999… {\ displaystyle 9 \倍 0.111 \ 点 0.999 \ 点}从类型 11 & 0.99 \\ 9 \ times 0.111 & 0.999 \\ 9 \ times 0.1111 & 0.9999 \\\ end {aligned}}} 得出 9 × 0, 111 ⋯ 0, 999… {\ displaystyle 9 \倍 0.111 \ 点 0.999 \ 点}

数字操作

另一种证明方式利用了乘以10时票数不变,只有小数点移动的事实,并且隐含地假设该规则也适用于无限小数。因此,10 × 0.999… 9.999…,比原始数字大 9 倍。从 9,999… 到 0.999… 的提款可以从票到票进行,9 到 9 0 可用于所有小数位。因此运算的结果是 9。现在我们写一个方程组并求解 0.999……。让我们称这个数字为 c。等式看起来像这样:10c - c 9。这与 9c 9 基本相同。除以 9 c 1。由一系列等式 x 0 写成,999 … 10 x 9 , 999 … 10 x − x 9 , 999 … − 0 ,999 … 9 x 9 x 1 0 , 999 … 1 {\displaystyle {\begin{aligned}x&0,999\ldots \\10x&9,999\ldots \\10x-x&9,999\ldots -0,999\ldots \\9x&9\ \x&1\\0,999\ldots &1\end{aligned}}}1\end{对齐}}}1\end{对齐}}}999 … 1 {\displaystyle {\begin{aligned}x&0,999\ldots \\10x&9,999\ldots \\10x-x&9,999\ldots -0,999\ldots \\9x&9\\x&1\\0,999\ldots &1\结束{对齐}}}999 … 1 {\displaystyle {\begin{aligned}x&0,999\ldots \\10x&9,999\ldots \\10x-x&9,999\ldots -0,999\ldots \\9x&9\\x&1\\0,999\ldots &1\结束{对齐}}}

真实分析

0.999...的问题并没有真正触及分析的基础问题,实数的引入不需要小数的产生,所以在通常的数学结构中处理这个问题可以推迟很长时间。然而,分析迟早会定义实数的十进制形式。这 b 0, b 1 b 2 b 3 b 4 b 5… {\ displaystyle b_ {0},b_ {1} b_ {2} b_ {3} b_ {4} b_ {5} \ dots} 是一个符号序列,其中b0 表示数字的全部部分和分数部分a (b 1; b 2; b 3;…; bn ;…) {\ Displaystyle (b_ {1}; b_ {2}; b_ {3}; \ dots; b_ {n}; \ dots) \,} 由无穷级数的元素表示的小数位。小数点分隔整数部分和小数部分。在检验 0.999 时……我们可以省去负整数的情况,甚至可以省去整个部分本身。很明显:在一个分数中可以有无限多的票,该符号是按位赋值的,即 500 中的 5 是 50 中的 10 倍,0.05 是 0.005 中的 10 倍。

无限系列和行

无限小数主要作为无限线的总和引入。一般情况下,用十进制形式赋值的数的值为:b 0,b 1 b 2 b 3 b 4 … b 0 + b 1 ( 1 10 ) + b 2 ( 1 10 ) 2 + b 3(1 10) 3 + b 4 (1 10) 4 +⋯。 {\ displaystyle b_ {0}, b_ {1} b_ {2} b_ {3} b_ {4} \ ldots b_ {0} + b_ {1} ({\ tfrac {1} {10}}) + b_ { 2} ({\ tfrac {1} {10}}) ^ {2} + b_ {3} ({\ tfrac {1} {10}}) ^ {3} + b_ {4} ({\ tfrac {1 } {10}}) ^ {4} + \ cdots.} 由于0.999…中的小数位都是一样的,所以转向几何线上的定理来计算前一个公式就足够了。据此,如果任意实数,这是几何级数和 | r | 的开始<1 数,则 a + a r + a r 2 + a r 3 +⋯ a ⋅ 1 1 - r。 {\ displaystyle a + ar + ar ^ {2} + ar ^ {3} + \ cdots a \ cdot {\ frac {1} {1-r}}.} 在这种情况下,该行从第二个成员开始前者:ar + ar 2 + ar 3 +⋯ ar 1 - r {\ displaystyle ar + ar ^ {2} + ar ^ {3} + \ cdots {\ frac {ar} {1-r}}} 对于 0.999… a 9和 r 1 10 {\ displaystyle \ scriptstyle {\ frac {1} {10}}},所以公式为 0,999 … 9 ( 1 10 ) + 9 ( 1 10 ) 2 + 9 ( 1 10 ) 3 +⋯ 9 ( 1 10 ) 1- 1 10 1. {\ displaystyle 0,999 \ ldots 9 ({\ tfrac {1} {10}}) + 9 ({\ tfrac {1} {10}}) ^ {2} +9 ({\ tfrac {1 } {10}}) ^ {3} + \ cdots {\ frac {9 ({\ tfrac {1} {10}})} {1 - {\ tfrac {1} {10}}}} 1. \, } 这个证明(更准确地说,9,999…10 的证明)也包含在 Leonhard Euler 的 1770 Elements of Algebra. \ displaystyle c \ in \ mathbb {R}} 中,can 级数也是收敛的,并且有一个 ca 的极限。为了证明这一点,让我们首先考虑特殊情况当 0 时,令 ε 为任意正数且 K> | c |正数。 (an) 为零,因此对于 ε / K 有足够大的数 N,如果 n> N,则 | an | <ε/K。因此,对于所有 n> N | (ca) n | | 可以 | <Kε / Kε,这样也可以归零。如果不为零,则我们从系列的每个成员中减去 t,因此我们得到一个极限为零的系列 (an - a)。根据特殊情况,如果我们乘以c,仍然趋于零,所以c(an​​-a)(can-ca)的极限为零,所以can级数趋于ca。也可以通过下式进行比较加减两个系列。在这里,我们在两个系列中进行,直到我们比 ε / 2 更接近极限。看看谁的门槛更高。这个阈值对求和序列和数字 ε 有好处。这个定理也可以用来证明数字运算的正确性和分数证明。几何级数和的结果比欧拉的要早得多。 Apollonius 已经使用它来确定抛物线切片的面积。在 18 世纪,导数通常由逐个成员操作执行,如本文详细介绍代数解的部分所述。在他 1811 年的教科书《代数导论》中,Bonnycastle 已经给出了 0.999……的等比数列证明。在 19 世纪,线和的概念得到了澄清,正如今天的惯例:线和只不过是一个系列的一系列小计的限制。例如,可以在 Rudin 的书中找到有关极限值的严格概念的证据。阅读更多。 A (x1, x2, x3,...) 系列限制是数字 x if | xn - x |只要 n 足够大,距离就会变得任意小。陈述 0.999…1 可以使用极限值来表述,也可以验证: 0, 999… lim n → ∞ 0,99… 9 lim n lim n → ∞ ∑ k 1 n 9 10 k lim n → ∞ (1 - 1 10n) 1 - lim n → ∞ 1 10 n 1. {\ displaystyle 0,999 \ ldots \ lim _ {n \ to \ infty} 0, \ underbrace {99 \ ldots 9} _ {n} \ lim _ {n \ to \ infty} \ sum _ {k1} ^ {n} {\ frac {9} {10 ^ {k}}} \ lim _ {n \ to \ infty} \ left (1 - {\ frac {1} {10 ^ {n}}} \ right) 1- \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {1} {10 ^ {n}}} 1. \,} 最后一步 - 到 lim 1 / 10n 0 - 它们通常指的是实数的阿基米德性质,即存在一个大于任何实数的自然数(由此得出1 / n 变得小于每个正实数,就像 1 / 10n 一样)。

联锁间隔和最小天花板

用线和定义提供了定义由十进制产生确定的实数的机会。相反的观点是为给定的实数定义一个十进制形式来命名它。假设我们从实数 x 知道 [0; 10]间隔。我们写一个小数的产生。 [0; 10] 间隔可以分为 10 个部分,以便端点重叠。因此数字 x 是 [0; 1], [1; 2], [2; 3],…, [9; 10] {\ displaystyle [0; 1], \ quad [1; 2], \ quad [2; 3], \ dots, \ quad [9;10]} 肯定会落入闭区间之一。假设我们知道 [2; 3]。然后将数字 b0 2 记录为十进制形式的整数。 2; 3]区间进一步划分:[2; 2.1], [2, 1; 2.2],…, [2.8; 2.9], [2.9; 3]。然后 x 落入其中之一,比如说 [2,8; 2.9]。记录数字 b1 8 作为第一个数字。继续这个过程,我们得到一个无限序列的交织区间,由无限序列的票标记:b0, b1, b2, b3,...,可以写成:x b0, b1b2b3... 考虑到这个过程,1 可以是1,000 ... 而 0.999 ... 是数字 1 是区间 [0; 1] 和 [1; 2] 的元素的结果,因此在程序的第一步中,我们可以选择生成小数分数 1。为了使程序正确,我们需要证明小数的产生指向一个单一的实数。这可以通过限制来解决,但其他构造使用排序。一个箭头直线选择是嵌套区间定理,它指出无限系列的嵌套闭区间有一个共同点。因此 b0, b1b2b3... 是包含在每个区间 {b0, b0.b1, b0.b1b2,...} 中的数字。这个定理依赖于实数的一个更基本的性质:最小上界的存在,即至高无上。为此,我们需要将 b0 定义为 b1b2b3... 近似级数的最小上限。可以看出,这个过程与除法过程是一致的,这又意味着0.999…1。 一个实数可以有两个不同的小数,这只是有两组实数的结果,具有相同的最小天花板。

实数

其他方法将实数视为高于有理数的结构。根据公理集合论,每个以0开头的自然数都有一个后继。这样定义的自然数,连同它们的对立面,给出整数,而它们的商给出有理数。也可以在这些数字范围内执行算术运算:这些数字可以加、减、乘或除。此外,它们给出了有序的结构,以便一个数可以与另一个数进行比较,不仅可以询问它们是否相等,而且可以询问一个比另一个更小或更大。从有理数到实数的扩展比以前的扩展要大得多。这有几种可能性,其中两种发表于 1872 年:Dedekind 切片和 Cauchy 系列。实分析的注释不包含 0.999…1 的直接证明,而是处理分析的公理。大多数构造的目的是呈现或证明支持上述证明的实数公理。但是,有些作者的想法是先呈现结构,因为结构更合乎逻辑,最终结果更独立。并且最终结果更加独立。并且最终结果更加独立。

戴德金切片

根据使用 Dedekind 切片的方法,每个实数都是一组比它小的有理数。具体来说,1 是小于 1 的有理数集合。每个正小数都定义了一个 Dedekind 切片:可以通过截断从中获得的有限小数的集合。因此,实数 0.999... 可以被认为是实数 r 的集合,其中 r <0 或 r <0.9 或 r <0.99 或 r 更小,作为 1 - (1 10) n {\ displaystyle {\ begin {aligned} 1 - ({\ tfrac {1} {10}}) ^ {n} \ end {aligned}}} 形式的数字。 0.999…的所有元素都小于1,所以它们是实数1的元素。向后,对于元素 1 a b <1 {\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ tfrac {a} {b}} <1 \ end {aligned}}},其中 b <1 - (1 10) b {\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ tfrac {a} {b}} <1 - ({\ tfrac {1} {10}}) ^ {b} \ end {aligned} }}。由于 0.999... 和 1 包含相同的元素,这两个集合,所以这两个数字是相等的。1 - ({\ tfrac {1} {10}}) ^ {b} \ end {aligned}}}。由于 0.999... 和 1 包含相同的元素,这两个集合,所以这两个数字是相等的。1 - ({\ tfrac {1} {10}}) ^ {b} \ end {aligned}}}。由于 0.999... 和 1 包含相同的元素,这两个集合,所以这两个数字是相等的。

柯西系列

另一种构造实数的方法是使用柯西级数。首先,x 和 y 之间的距离是 | x - y |定义由,其中 | z |通常意义上的绝对值函数。此后,该方法使用这种距离度量,将级数解释为从正整数集到实数集的映射,其中 n 对应于级数的第 n 个元素。实数定义为柯西级数,如果级数 (xn - yn) 为 0,则认为两个级数相等。在这种方法中,必须证明 1 - 0, 1 - (9/10), 1 - ( 99/100),... 1, (1/10), (1/100),... 是 0 的极限。对于级数的第 n 个成员,足以证明:lim n → ∞ 1 10 n 0. {\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {1} {10 ^ {n}}} 0.} 这是显而易见的,因为 0.1 <1 a二次几何是有限的。使用柯西级数的定义首先由爱德华·海涅和乔治·康托于 1872 年发表。二次几何的极限是有限的。使用柯西级数的定义首先由爱德华·海涅和乔治·康托于 1872 年发表。二次几何的极限是有限的。使用柯西级数的定义首先由爱德华·海涅和乔治·康托于 1872 年发表。

概括

0.999…1 的陈述和证明可以用多种方式概括。可以写为非零有限十进制小数的数字还有另一种形式,以无限数量的 9 结尾。例如,0.24999…0.25 类似于特例。这些数字的集合是密集的。另一方面,与十进制数系统的情况一样,在所有数系统中都会出现同样的问题。二进制数系统中的 0.111…1 和三重数系统中的 0.222…1。例如,在一个以 sz {\ displaystyle \ phi} 为基数的数字系统中,黄金比例,1 的两种可能表示是 1,000... 和 0,101010……;但是也有无数的表示,其中也有相邻的 1。此外,对于几乎所有 1 到 2 之间的数字,1 都有无数的表达式。另一方面,有无数的基金,其中 1 对该基金只有一个其他解释。这一结果最早由匈牙利数学家 Pál Erdős、Miklós Horváth 和 István Joó 在 1990 年左右发现。 1998 年,Miklós Komornik 和 Paola Loreti 确定了最小的这样的基数,1,787231650……;其中有 1 0,11010011001011010010110011010011…;门票是由图厄-莫尔斯系列给出的,这个铭文不是周期性的。更概括的是更普遍的地方价值体系。其中也有几种表现形式,难度也随之增加。在平衡三重数系统中(其中数字为 0、+1、-1),1/2 0.111…1.111…。在阶乘数系统中,1 1,000…0.1234…。 Marko Petkovšek 意识到使用本地有价值系统的必然结果是数字的多重表示。在表示所有实数的任何数字系统中,都有一组稠密的实数可以用多种方式表示。

应用

一种应用属于初等数论。 1802 年 H. Goodwin 发表了他对无限间歇小数的观察。如果分数的分母属于素数的某一部分,就会发生这样的事情: 1/7 0.142857142857... 和 142 + 857 999. 1/73 0.01336868601369863... 和 0136 + 989.3E . 9米迪在 1836 年证明了一个更一般的定理,即米迪定理。该出版物含糊不清,尚不清楚它是否使用了 0.999 的结果……但 WG Leavitt 的现代证明确实如此。如果可以证明0,b1b2b3…是一个无穷大的十进制整数,那么它一定是0.999…,这就是定理中9的来源。在这个方向上的尝试可能会激发最大公约数、模算术、费马素数、排序、回到实际分析,数字 3 在康托集中最简单的分形之一中起着 0.222…1 的关键作用:单位区间中的数字是康托集的一个元素,当且仅当可以写成三元组只使用0和2位数字,记号的第n位是指第n步构造点的位置。例如,²⁄3 以通常的 0.2 或 0.2000 形式给出……因为它位于第一个擦除的右侧和所有擦除的左侧。 1⁄3 不是表示为 0.1,而是表示为 0.0222……因为它位于第一个擦除的左侧和所有擦除的右侧。在康托尔的其他作品中,9 也出现了。单位区间上的点的不可数性也可以用康托对角过程证明。证明应该避免像 0.2 和 0.1999 这样的对。一个简单的方法是将每个数写成无限十进制形式,因此它也给出了可以写成有限十进制数的数字。另一种方法避免了无限的间歇性 9。康托尔原论证采用二进制数制,通过将三重数制中的铭文转化为数制2,可以证明康托尔集的不可数性。通过将三重数系中的铭文转化为数系2,可以证明康托集的可数性。通过将三重数系中的铭文转化为数系2,可以证明康托集的可数性。

其他数圈中的语句

尽管实数是一个非常有用的数字范围,但 0.999... 被认为是实数约定。Timothy Gowers 认为 0.999…1 等式约定:然而,这不是一个任意的协议,因为它的拒绝需要拒绝通常的算术规则或引入奇怪的新对象。您可以定义使用不同规则的新数字范围或引入新对象。用于实数的证明并不总是在这些数字范围内有效,因此需要重新检查 0.999…1 的问题,而在某些此类数字系统中,这种等式无法满足。另一方面,其他是实数的扩展而不是独立的替代方案,因此 0.999…1 的相等性仍然存在。

Infinitezimálisok

0.999…1 的一些证明利用了标准实数按阿基米德排列的事实:不存在非零无穷小。但是存在非阿基米德有序代数结构,包括实数的一些替代方案。 0.999 的含义……取决于我们正在查看的结构。例如,对偶数包括由 ε 表示的无穷小元素。这对应于复体扩展的虚数单位,除了 ε² 0。可以给对偶数一个字典排列,其中 ε 的倍数不是阿基米德元素。注意,在对偶数中,0.999…1仍然满足,因为对偶数是实数的扩展。对偶数中没有最小的正数,因为如果有ε,那么也有ε/2。标准实数还有其他替代方法。这些可以在顶级理论和多值逻辑的帮助下构建,或者在特殊情况下使用经典逻辑。例如,存在无穷小元素没有倒数的构造。众所周知,非标准分析适用于包含完整无穷小数组的数字范围。这为不同的分析方法提供了机会,这可能比标准版本更直观。AH Lightstone 在 1972 年处理了非标准十进制表达式,其中扩展实数 (0, 1) 的扩展十进制表达式很清楚。他用扩展整数索引了形式为 0, ddd...;... ddd... 的票证系列。在这个形式主义中,0.333…有两个自然扩展:0.333…;…000…不存在0.333…;…333…1/3,准确地说。组合数论给出了替代实数、无限蓝红Hackenbush弦作为详细的相关例子。 1974 年,Elwyn Berlekamp 匹配了 Hackenbush 字符串和由数据压缩驱动的实数的二进制描述。例如,LRRLRLRL…Hackenbush-string 的值是 0.010101…1/3。代表 0.111... 的 LRLLL... 字符串无穷小地小于 1,不同之处在于超现实数 1 / ω,其中 ω 是最小的无限牌照。相关的游戏是 LRRRR... 或者 0.000...。例如,LRRLRLRL…Hackenbush-string 的值是 0.010101…1/3。代表 0.111... 的 LRLLL... 字符串无穷小地小于 1,不同之处在于超现实数 1 / ω,其中 ω 是最小的无限牌照。相关的游戏是 LRRRR... 或者 0.000...。例如,LRRLRLRL…Hackenbush-string 的值是 0.010101…1/3。代表 0.111... 的 LRLLL... 字符串无穷小地小于 1,不同之处在于超现实数 1 / ω,其中 ω 是最小的无限牌照。相关的游戏是 LRRRR... 或者 0.000...。

撤回的取消

另一个有问题的证据是 1 减去 0.999……。如果不能进行这个减法,那么 0.999... <1. 还有一些结构可以加法,但不解释减法:例如交换半群、交换幺半群和半圆。 Richman 考虑了两个这样的系统并意识到 0.999… <1。首先,Richman 将非负十进制数定义为无限小数。他指定了字典排列和加法运算。在这个系统中,0.999… <1,因为 0 <1 放在首位,但对于所有无限 x,对于其中 0.999… + x 1 + x。因此,小数的加法并不总是可逆的,数字 1⁄3 也不总是可逆的。随着乘法的引入,十进制数形成了一个正的、完全有序的、可交换的半圆。为了定义乘法,Richman 还引入了另一个称为 D 切片的系统。这是一组 Dedekind 小数片。通常这个定义导致实数,但它也允许两个切片给出一个小数:(‒∞, d) 和 (‒∞, d],后者是主切片,因此实数难以共存带小数... <1. D-slices 中没有正无穷小,但是这里有很多负无穷小,例如 0-,它没有无穷小数形式。Richman 得出的结论是 0.999…1 + 0-,其中“0.999... + x 1”方程在十进制数之间没有解。通常这个定义导致实数,但它也允许两个切片给出一个小数:(‒∞, d) 和 (‒∞, d],后者是主切片,因此实数难以共存带小数... <1. D-slices 中没有正无穷小,但是这里有很多负无穷小,例如 0-,它没有无穷小数形式。Richman 得出的结论是 0.999…1 + 0-,其中“0.999... + x 1”方程在十进制数之间没有解。通常这个定义导致实数,但它也允许两个切片给出一个小数:(‒∞, d) 和 (‒∞, d],后者是主切片,因此实数难以共存带小数... <1. D-slices 中没有正无穷小,但是这里有很多负无穷小,例如 0-,它没有无穷小数形式。Richman 得出的结论是 0.999…1 + 0-,其中“0.999... + x 1”方程在十进制数之间没有解。但是这里出现了大量的负无穷小,例如0-,它没有无穷小数形式。 Richman 得出的结论是 0.999…1 + 0‒,其中“0.999…+ x 1”方程在十进制数中没有解。但是这里出现了大量的负无穷小,例如0-,它没有无穷小数形式。 Richman 得出的结论是 0.999…1 + 0‒,其中“0.999…+ x 1”方程在十进制数中没有解。

p进数

说到 0.999……,很多人认为无穷大是最后一个九。 1 减去 0.999…的结果是正数 0.000…1,其中 1 是无穷大。直觉很清楚:如果我们将 0.999 的最后九个加一个……,它会运行,重置所有九个并首先给出 1。除其他外,这个想法失败了,即数字 0.999 中没有最后九个......在其他地方,寻找具有倒数九分之一的无限 9 数组。 P-adic 数是在数论中处理的替代数系统。与实数一样,p-adic 数可以构造为有理数的柯西级数。它们可以被理解为具有另一个本地价值系统的另一个度量标准的实数。该构造使用非阿基米德度量,其中 0 更接近 p,为 1,并且 pn 比 p 更接近于零。如果 p 是素数,则 p-adic 数形成一个体,如果它是复数,则形成一个环,例如 10。因此,可以在不需要无穷小数的情况下对 p-adic 数执行操作。在 10-adic 数中,十进制表达式的模拟流向左边。 ... 999 10-adic 指数有最后 9 个,但没有第一个。如果我们加一个,就会发生:1 +… 999… 000 0,等等… 999 ‒1. 另一种证明使用几何线。 …… 999 隐含的无限行不会在通常的实数度量中收敛,但在 p-adic 度量中会收敛。以下是该公式的使用方法:… 999 9 + 9 (10) + 9 (10) 2 + 9 (10) 3 + ⋯ 9 1 - 10 - 1. {\ displaystyle \ ldots 9999 + 9 (10) +9 (10) ^ {2} + 9 (10) ^ {3} + \ cdots {\ frac {9} {1-10}} - 1.} 第三种方法是由一个七年级学生发明的,他怀疑他的老师的极限证明(实数)0.999… 1 ,但证明乘以十启发在另一个方向上做同样的事情(在 10-adic 数中):如果 x... 999,那么 10x... 990,那么 10x x - 9,那么 x –1. 999 –1,那么... 999.999... 等于 0 .这种等式在实数或 p-adic 数中都没有意义,但事实证明它是有道理的,而且如果我们引入双位小数来表示实数,它的前面和前面都有无限个数字,这是真的。小数点后。可以站立。如果我们引入双十进制分数来表示实数,那么小数点前后可以有无数个数字。如果我们引入双十进制分数来表示实数,那么小数点前后可以有无数个数字。

相关问题

芝诺关于跑步者的悖论是一个类似的悖论。运行悖论可以用数学建模,并且像 0.999…1 一样,可以使用几何级数来解决。这个数学概念是否对应芝诺所研究的形而上学概念,目前尚不清楚。数学民间传说中流行的巧克力纸故事:有一种巧克力,其中还包裹了一张用于广告目的的优惠券。对于十张这样的优惠券,可以获得另一条巧克力。问题:在完整包装的情况下,多少块巧克力值得这样一块巧克力?该套餐包括一块巧克力和一片巧克力,您可以从中获得 10 块巧克力。所以它是巧克力的十分之一,伴随着第十片。按照这个思路,整个包装的巧克力价值是 1 + 1 10 + 1 100 + 1 1000 +... {\ displaystyle 1 + {\ frac {1} {10}} + {\ frac {1} {100}} + {\ frac {1} {1000}} + \ dots} 另一方面,整个包装中巧克力的价值正好是 1 1 9 {\ displaystyle \ scriptstyle {1 {\ frac {1 } {9}}}}:包里有一块巧克力,这个是1块,足以证明一块值1/9块巧克力。索要九张巧克力棒,然后用十(9+1)张优惠券付款,这也可以看出:没有优惠券剩余,巧克力也支付了。除以零也出现在关于 0.999 的流行辩论中……并且也引起了很多关注。几乎所有现代结构都未定义除以零,而大多数作者定义了 0.999……。另一方面,其他一些系统定义了它,例如复分析,在无限扩展的复平面中没有任何障碍;因此,1/0 可以定义为无穷大。事实上,结果是深刻的,适用于许多工程和物理问题。一些著名的数学家认为应该首先引入这样的定义,然后才应该讨论数圈。负零是与命理学相关的另一种冗余现象。在诸如实数之类的数字范围中,其中 0 是加性中性元素,通常对 ‒0 的解释是“0 的加性倒数”,这意味着 ‒0 是 0。但是,一些科学应用程序使用单独的正零和负零,作为最广泛使用的计算机编号系统,例如根据 IEEE 浮点标准存储带符号和数量级的整数或浮点数。或 IEEE 浮点标准浮点数。或 IEEE 浮点标准浮点数。

文化方面

随着互联网的发展,关于 0.999 的辩论从课堂中解放出来,并在新闻组和论坛中占有一席之地,即使是那些原则上与数学无关的论坛。在 sci.math 新闻组中,争论 0.999……已成为一种流行的消遣,这个问题也在新闻组的 FAQ(常见问题)部分得到解决。 FAQ 涉及 ⅓、乘以 10、极限和柯西级数。受到普遍关注的 2003 年版 The Straight Dope 处理了 ⅓ 和限制,也解决了误解。我们的低等灵长类动物仍然抗拒,说0.999……不是数字而是一条线。要找到一个数,我们必须停下来,然后我们有0.999~1。这是废话。 The Straight Dope 引用了一场辩论它始于一个主要是关于视频游戏的留言板。怀着同样的热情,0.999…问题在暴雪娱乐的战网论坛的前七年变得如此流行,以至于公司总裁迈克·莫海姆在 2004 年 4 月 1 日召开了新闻发布会,0.999…1。我们非常很高兴我们可以一劳永逸地结束这一章。我们目睹了很多关于 0.999... 是否等于或不等于 1 的头痛和担忧,现在我们可以自豪地说,以下证据将为我们的客户明确而令人信服地讨论这个问题。暴雪随后根据限制和乘以 10 提供了两条证据。999…问题在暴雪娱乐的前七年在战网论坛上变得如此流行,以至于公司总裁迈克·莫海姆在2004年4月1日召开了一场新闻发布会,对0.999…1.这让我们感到非常高兴一劳永逸地关闭它。这一章。我们目睹了很多关于 0.999... 是否等于或不等于 1 的头痛和担忧,现在我们可以自豪地说,以下证据将为我们的客户明确而令人信服地讨论这个问题。暴雪随后根据限制和乘以 10 提供了两条证据。999…问题在暴雪娱乐的前七年在战网论坛上变得如此流行,以至于公司总裁迈克·莫海姆在2004年4月1日召开了一场新闻发布会,对0.999…1.这让我们感到非常高兴一劳永逸地关闭它。这一章。我们目睹了很多关于 0.999... 是否等于或不等于 1 的头痛和担忧,现在我们可以自豪地说,以下证据将为我们的客户明确而令人信服地讨论这个问题。暴雪随后根据限制和乘以 10 提供了两条证据。我们目睹了很多关于 0.999... 是否等于或不等于 1 的头痛和担忧,现在我们可以自豪地说,以下证据将为我们的客户明确而令人信服地讨论这个问题。暴雪随后根据限制和乘以 10 提供了两条证据。我们目睹了很多关于 0.999... 是否等于或不等于 1 的头痛和担忧,现在我们可以自豪地说,以下证据将为我们的客户明确而令人信服地讨论这个问题。暴雪随后根据限制和乘以 10 提供了两条证据。

笔记

翻译

本文部分或全部基于英文维基百科文章 0.999 的翻译...... 原始文章的编辑者列在其页面历史记录中。本说明仅表明文字出处,不作为文章所含信息的来源。

英文文章的参考书目

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其他匈牙利语文献

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